RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2015
23 июля 2015 г. 17:15, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Введение в двенадцатую проблему Гильберта. Занятие 2

М. Ю. Розенблюм
Видеозаписи:
Flash Video 478.1 Mb
Flash Video 2,865.1 Mb
MP4 478.1 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:112
Видеофайлы:43

М. Ю. Розенблюм


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Явно построить конечное расширение поля – означает, в сущности, свести задачу нахождения решений уравнения высокой степени к более простой задаче.
Исторически первым примером была проблема решения уравнений в радикалах. Окончательный ответ был дан Галуа в первой половине XIX века. Обнаружилось, что уравнение решается в радикалах, если его группа Галуа разрешима. Однако чтобы добраться до решений, приходится последовательно извлекать корни, а распараллелить процедуру в общем случае невозможно.
Простейший подкласс разрешимых групп – коммутативные (или абелевы) группы. Случай абелевых расширений исследовал Куммер. Его конструкция работает, если поле коэффициентов содержит достаточно много корней из единицы (тем больше, чем выше степень уравнения), и поэтому применима не ко всем абелевым расширениям.
Для того, чтобы избавиться от этого условия и универсально сконструировать все абелевы расширения поля $\mathbb Q$, понадобились десятилетия. Ответ дала теорема Кронекера–Вебера, утверждающая, что такие расширения порождаются корнями из единицы или, что тоже самое, значениями $\exp(2\pi iz)$ в рациональных $z$.
В своём знаменитом докладе на математическом конгрессе в 1900 году Гильберт сформулировал общую задачу: построить абелевы расширения любого конечного расширения поля $\mathbb Q$ по аналогии с предыдущей теоремой.
Очередным шагом стала теория комплексного умножения эллиптических кривых, позволившая обосновать исследованную ещё Кронекером конструкцию и решить проблему для мнимоквадратичных расширений $\mathbb Q$.
В курсе лекций вышеизложенное будет объяснено с разумной мерой детализации, после чего будет дан обзор современного состояния проблемы.

Программа курса
Теория Галуа. Расширения Куммера. Идеалы в кольцах алгебраических чисел. Разложение расширений. Ветвление. Поля классов. Закон взаимности. Эллиптические функции. Комплексное умножение. СМ-поля. Гипотезы Старка.

Предполагается, что слушатели знают простейшие свойства групп, колец и полей, и слыхали про $p$-адические числа и функции комплексной переменной.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2015/courses/rozenblyum.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017