RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2016
29 января 2016 г. 15:00, г. Москва, 119991, Москва, ул. Губкина, 8, МИАН им. В.А.Стеклова РАН, 9 этаж, конференц-зал
 


On a discrete spectrum of Laplace operator on the fundamental domain of modular group and Chebyshev's function

[Дискретный спектр оператора Лапласа на фундаментальной области модулярной группы и функция Чебышёва]

Д. А. Попов

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Научно-исследовательский институт физико-химической биологии имени А. Н. Белозерского

Количество просмотров:
Эта страница:159
Видеофайлы:39

D. A. Popov



Аннотация: Оператор Лапласа $\Delta = u^{2}(\partial_{x}^{2} + \partial_{u}^{2})$ имеет на фундаментальной области
$$ \mathcal{F} = ż = x+iy | y>0, |z|>1, |x|<\tfrac{1}{2}\} $$
модулярной группы $PSL(2,\mathbb{Z})$ бесконечный дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$,
$$ \Delta\varphi_{n} + \lambda_{n}\varphi_{n} = 0,\quad \varphi_{n}\in L^{2}(\mathcal{F},d\mu),\quad d\mu = \frac{dx du}{u^{2\mathstrut}},\quad\lambda_{n}\ge 0, $$
и непрерывный спектр, покрывающий интервал $[\tfrac{1}{4},+\infty)$.
В Шуровских лекциях (Тель -Авив, 1992 г.) П. Сарнак высказал предположение о том, что дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$ должен играть фундаментальную роль в теории чисел. В докладе будет рассказано о доказательстве следующей теоремы:

Теорема. Для любого $x\ge 3$ и любого $t$ такого, что
$$ 0<t\le x^{-4}(\ln{x^{p}})^{-2},\quad p\ge 20, $$
имеет место следующее равенство:
$$ \psi(x) = 2\sqrt{\pi}t\sum\limits_{n\ge 0}e^{-tr_{n}^{2}}\sum\limits_{2\le k\le x}k\cos{(2r_{n}\ln{k})} + R(x),\quad |R(x)| \le \frac{cx^{2}\sqrt{t}}{(\ln{x})^{2\mathstrut}} \le \frac{c}{(\ln{x})^{3\mathstrut}}. $$
\emph{В этом равенстве $\psi(x)$ - функция Чебышева; величины $r_{n}$ определяются из условия $\lambda_{n}=r_{n}^{2}+\tfrac{1}{4}$, а $c$ - абсолютная эффективная постоянная.}

Таким образом доказано, что дискретный спектр $\{\lambda_{n}\}$ определяет закон распределения простых чисел.

Язык доклада: русский и английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017