RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция памяти Анатолия Алексеевича Карацубы по теории чисел и приложениям, 2016
28 января 2016 г. 16:00, г. Москва, 119991, Москва, ул. Губкина, 8, МИАН им. В.А.Стеклова РАН, 9 этаж, конференц-зал
 


Contribution to the theory of hyperbolic zeta-functions of the lattices

[О новых результатах в теории гиперболической дзета-функции решёток]

Н. М. Добровольский

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого
Видеозаписи:
Flash Video 177.7 Mb
Flash Video 1,058.9 Mb
MP4 177.7 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:165
Видеофайлы:46

N. M. Dobrovol'skii


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: В докладе излагаются результаты совместной работы Н.М. Добровольского и Н.Н. Добровольского “О новых результатах в теории гиперболической дзета-функции решёток”, выполненной при поддержке гранта РФФИ № 15-01-01540а.

Гипеболическая дзета -функция решёток задаётся в правой полуплоскости $\Re \alpha>1$ рядом
$$ \zeta(\Lambda|\alpha) = \sum\limits_{\vec{x}\in \Lambda,\;\vec{x}\ne \vec{0}}(\overline{x}_{1}\ldots \overline{x}_{s})^{-\alpha}, $$
где $\overline{x}=\max{(1,|x|)}$. Очевидно, что при $s=1$ гиперболическая дзета -функция решётки выражается через дзета -функцию Римана.

Для гиперболической дзета -функции решётки $\Lambda(t,F)$ в работе [1] была получена асимптотическая формула
$$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha) = \frac{2(\det\Lambda(F))^{\alpha}}{R(s-1)!} ( \sum\limits_{(w)}|N(w)|^{- \alpha}) \frac{\ln^{s-1}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}} + O(\frac{\ln^{s-2}{\det\Lambda(t,F)}}{(\det\Lambda(t,F))^{\alpha}}), $$
где $R$ - регулятор поля $F$, а в сумме по $(w)$ суммирование проводится по всем главным идеалам кольца $\mathbf{Z}_{F}$.

Обозначим через $\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)$ дзета-функцию Дедекинда главных идеалов квадратичного поля $F$:
$$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F) = \sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}. $$
Тогда
$$ \zeta_{D_{0}}(\alpha|F) = \sum\limits_{(\omega)}|N(\omega)|^{-\alpha}\ln{|N(\omega)|}. $$


Теорема. Справедливо асимптотическое равенство:
$$ \zeta_{H}(\Lambda(t,F)|\alpha) = \frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{R}\cdot \frac{\ln{\det\Lambda(t)}}{(\det\Lambda(t))^{\alpha}} - \frac{2(\det\Lambda)^{\alpha}}{R(\det\Lambda(t))^{\alpha}}  (\ln{\det{\Lambda}} + \zeta_{D_{0}}'(\alpha|F)) + \frac{2(\det{\Lambda})^{\alpha}\zeta_{D_{0}}(\alpha|F)}{(\det{\Lambda(t)})^{\alpha}}(\theta_{1}(\alpha) +  \frac{\theta_{2}(\alpha)}{\sinh{(\alpha R/2)}}), $$
\emph{где $|\theta_{1}(\alpha)|\le 1$ и $\varepsilon_{0}^{-\alpha/2}\le \theta_{2}(\alpha)\le \varepsilon_{0}^{\alpha/2}$, $\varepsilon_{0}$ - фундаментальная единица квадратичного поля $F$ и $R$ - регулятор этого поля.}

Доказательство этого утверждения содержится в работе [2].

Анализ приведённых результатов показывает, что в случае квадратичных полей удаётся существенно уточнить асимптотическую формулу для гиперболической дзета-функции алгебраической решётки квадратичного поля.

Ясно, что дальнейшие исследования в случае квадратичных полей должны быть направлены на изучение дзета-функции Дедекинда главных идеалов квадратичного поля и её производных.


[1] Н.М. Добровольский, В.С. Ванькова, С.Л. Козлова, Гиперболическая дзета-функция алгебраических решёток. Деп. в ВИНИТИ 12.04.90 № 2327-B90.
[2] Л.П. Добровольская, М.Н. Добровольский, Н.М. Добровольский, Н.Н. Добровольский, Гиперболические дзета-функции решетки квадратичного поля. Чебышевский сб., 136:4 (2015), 100-149.

Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017