RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2016
25 июля 2016 г. 09:30, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Бифуркации векторных полей на плоскости. Занятие 2

Ю. С. Ильяшенко
Видеозаписи:
Flash Video 502.3 Mb
Flash Video 3,009.8 Mb
MP4 502.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:135
Видеофайлы:42

Ю. С. Ильяшенко


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Пусть на плоскости (или на прямой) задано векторное поле: в каждой точке нарисован вектор. Этому полю можно сопоставить дифференциальное уравнение: точка $x(t)$ движется «по стрелочкам» – так, что

$\frac{dx}{dt}=v(x(t))$ при всех $t$.

Типичный вопрос теории динамических систем – описать качественное поведение решений при $t\to +\infty$. Скажем, решения могут стремиться к устойчивому положению равновесия (см. рис. 1), «наматываться» на периодическую траекторию («предельный цикл», см. рис. 2), и так далее.
yu.png

Следующий вопрос – а что будет, если система зависит от параметра, и мы начинаем этот параметр менять? Как будет изменяться качественное поведение системы?
Достаточно часто при изменении параметра в каком-то интервале качественное поведение не изменяется, пока параметр не достигает некоторого критического («бифуркационного») значения, при котором поведение резко изменяется. Простейший пример такой картины (для динамики на прямой) изображен на рис. 3: у уравнения

$\frac{dx}{dt}=x^2 + \varepsilon$

при $\varepsilon < 0$ два положения равновесия, $x_\pm = \pm \sqrt{-\varepsilon}$, из которых одно устойчивое, а одно неустойчивое. В момент $\varepsilon = 0$ происходит бифуркация: эти положения равновесия сливаются в одно полуустойчивое. Наконец, при сколь угодно малом положительном $\varepsilon$ это положение равновесия исчезает, и точки проходят из минус бесконечности в плюс бесконечность, «нигде не задерживаясь». Этот сценарий называют бифуркацией седлоузла.
Типичные однопараметрические бифуркации векторных полей на прямой и на плоскости полностью изучены. На прямой такая бифуркация всего одна – это описанная выше бифуркация седлоузла. Список типичных бифуркаций в однопараметрических семействах оказался счетным (а не конечным, как ранее ожидалось).
«Картографирование» двупараметрических бифуркаций представляет собой интересную, объемную, и почти еще не тронутую задачу. Однако, удивительным образом, когда параметров становится три – список бифуркаций становится континуальным: у некоторой группы сценариев появляется числовой инвариант.
В курсе мы построим «руками» явный пример («плачущее сердце») такого инварианта, придуманный меньше двух лет назад в совместной работе лектора, Ю. Кудряшова и И. Щурова.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2016/courses/ilyashenko.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017