RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2016
25 июля 2016 г. 17:15, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Вероятностная теория чисел. Занятие 3

Алексей И. Буфетов
Видеозаписи:
Flash Video 2,851.5 Mb
Flash Video 475.9 Mb
MP4 475.9 Mb
Материалы:
Adobe PDF 199.4 Kb
Adobe PDF 182.8 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:99
Видеофайлы:36
Материалы:16

Алексей И. Буфетов


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Цель данного курса – показать, как вероятностные методы и интуиция помогают отвечать на теоретико-числовые вопросы. Я расскажу про два существенно разных сюжета.
  • Правильные гипотезы
    Верно ли, что простых чисел-близнецов бесконечно много? Верно ли, что любое четное число раскладывается в сумму двух простых? Ответы на эти вопросы, формально говоря, еще не получены. Однако, существуют правдоподобные гипотезы, дающие куда более точную информацию: так, если $B(n)$ – количество простых чисел-близнецов, меньших $n$, то $\lim_{n\to\infty}B(n)/C\frac{n}{\ln^2n}=1$ (значение константы $C$ также предсказывается). Эта гипотеза следует из простых вероятностных соображений и подтверждается численными данными. Вероятностные «прикидки» позволяют сделать предположения и в ряде других известных вопросов (например, гипотеза Гольдбаха, гипотеза Римана), которые тоже подтверждаются численными экспериментами.
    Кажется странным, что в детерминированной ситуации (число уж либо простое, либо нет) оказывается полезным вероятностный подход. Причину можно попытаться описать следующим образом: простые числа определяются свойствами относительно умножения, а относительно сложения никакой ощутимой «структуры» у них нет. Поэтому относительно сложения они ведут себя «случайным» образом.
  • Типичное число простых множителей натурального числа
    Пусть $w(n)$ – число различных простых делителей натурального числа $n$. Выберем $n$ равномерно случайно из $\{1,2,…,N\}$ для большого $N$. Чему равно типичное значение $w(n)$?
    Оказывается, для почти всех $n$ мы имеем $w(n)\approx\ln\ln n$. Более того, мы докажем теорему Эрдеша-Каца для $w(n)$. Эта теорема утверждает, что $w(n)$$\ln\ln n$ имеет порядок $\sqrt{\ln\ln n}$ и описывается гауссовским распределением.
    На этом материале мы познакомимся с базовыми теоремами теории вероятностей: законом больших чисел и центральной предельной теоремой.

Программа
  • Базовые понятия: конечное вероятностное пространство, случайные величины, независимость. Множество $\{1,2,…,N\}$ как вероятностное пространство. Делимость на различные простые как (асимптотически) независимые события. Вероятностная модель Крамера простых чисел.
  • Улучшенная модель Крамера. Гипотезы: асимптотика количества простых чисел-близнецов, асимптотика количества разложений четного числа в сумму двух простых.
  • Закон больших чисел и центральная предельная теорема для бернуллиевских величин. Эквивалентная формулировка гипотезы Римана: функция Мебиуса «случайна».
  • Теорема Эрдеша-Каца: почти всякое натуральное число $n$ имеет примерно $\ln\ln n$ простых делителей. Более того, число простых делителей удовлетворяет центральной предельной теореме.

По курсу предполагается выдача листочков с задачами. Никаких предварительных знаний по теории вероятностей и теории чисел не предполагается.

Материалы: albufetov_ex2.pdf (199.4 Kb), albufetov_ex1.pdf (182.8 Kb)

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2016/courses/albufetov.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017