RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
23 мая 2017 г. 16:20, г. Москва, Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет
 


On the fractional moments of some mollified arithmetical Dirichlet series

[О дробных моментах некоторых успокоенных арифметических рядов Дирихле]

С. А. Гриценко

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
Видеозаписи:
MP4 200.2 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:165
Видеофайлы:20

S. A. Gritsenko


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: В 2002 г. А.А. Карацуба показал, что знание правильных порядков дробных моментов рядов Дирихле позволяет получить в задаче о числе нулей дзета -функции Римана на критической прямой результат, более точный, чем оценка Г. Харди -Дж. Литтлвуда (1921).
В 2017 г. автор получил правильные по порядку верхние и нижние оценки для некоторых успокоенных $L$ -функций Дирихле и применил их к задаче о числе нулей функции Дэвенпорта -Хейльбронна на критической прямой. Под моментами успокоенных $L$ -функций Дирихле здесь и далее понимаются интегралы
$$ \int_{T}^{2T}|L(\tfrac{1}{2}+it,\chi)\phi(\tfrac{1}{2}+it)|^{2k}dt, $$
где функция $\phi(\tfrac{1}{2}+it)$ выбирается так, чтобы она не имела нулей нечетного порядка, а функция $L(\tfrac{1}{2}+it,\chi)$ была по возможности близка к константе. Идея введения успокаивающей функции $\phi(\tfrac{1}{2}+it)$ принадлежит А. Сельбергу.
Число $2k$ называется порядком момента. Ранее автор рассматривал только моменты порядков $\tfrac{1}{2}$ и $1$. В настоящем докладе будут представлены оценки моментов порядков $\tfrac{2}{v}$, где $v$ – произвольное натуральное число, большее $2$.
Сформулируем наш основной результат. Пусть $\varepsilon$ – произвольно малое положительное число, $X=T^{ \varepsilon}$. Пусть
$$ \sum_{\nu=1}^{\infty}\frac{\alpha(\nu)}{\nu^{s}} =  \prod\limits_{p\equiv\pm 1(\mmod 5)}(1-\frac{1}{2vp^{s}})\prod\limits_{p\equiv\pm 2(\mmod 5)}(1-\frac{\varepsilon}{p^{s}}), $$

\begin{equation*} \beta(\nu) =  \begin{cases} \displaystyle \alpha(\nu)\chi_{1}(\nu)(1-\frac{\log{\nu}}{\log X\mathstrut }), & при\;\;\nu<X,
0, & при\;\;\nu\ge X, \end{cases} \end{equation*}
где $\chi_{1}(\nu)$ – характер по модулю 5 такой, что $\chi_{1}(2)=i$,
$$ \varphi(\tfrac{1}{2}+it) = \sum_{\nu<X}\frac{\beta(\nu)}{\nu^{ 1/2+it}},\quad \phi(\tfrac{1}{2}+it)=(\varphi(\tfrac{1}{2}+it))^{2v}. $$

Теорема. Справедливы следующие оценки:
\begin{multline*} T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)}\ll \int_T^{2T}|L(\tfrac{1}{2}+it,\overline{\chi}_{1})\phi(\tfrac{1}{2}+it)|^{2/v}dt\ll
\ll T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)},
\int_T^{2T}|L(\tfrac{1}{2}+it,\chi_{1})\phi(\tfrac{1}{2}+it)|^{2/v}dt\ll T(\log T)^{(1-2\varepsilon v)^{2}/(2v^2)},
\int_T^{2T}|L(\tfrac{1}{2}+it,\overline{\chi}_{1})\phi(\tfrac{1}{2}+it)|dt\ll T(\log T)^{(1+2\varepsilon v)^{2}/8},
\int_T^{2T}|L(\tfrac{1}{2}+it,\chi_{1})\phi(\tfrac{1}{2}+it)|dt\ll T(\log T)^{(1-2\varepsilon v)^{2}/8}. \end{multline*}

Пусть $N_{0}(T)$ — число нулей функции Дэвенпорта–Хейльбронна на отрезке $[\tfrac{1}{2},\tfrac{1}{2}+iT]$. Из приведенной выше теоремы следует, что
$$ N_{0}(2T) - N_{0}(T) \gg T(\log T)^{1/2+1/12-\varepsilon}. $$


Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017