RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
27 мая 2017 г. 10:00, г. Москва, Московский Государственный университет им. М.В. Ломоносова, механико-математический факультет
 


On Lagrange algorithm for reduced algebraic irrationalities

[Об алгоритме Лагранжа для приведённых алгебраических иррациональностей]

Н. М. Добровольский

Тульский государственный педагогический университет им. Л. Н. Толстого

Количество просмотров:
Эта страница:92

Аннотация: В 2015 году нами была доказана теорема, что для вычисления очередного неполного частного разложения алгебраического числа в цепную дробь достаточно вычисления двух значений минимального многочлена соответствующей остаточной дроби. В данном докладе мы доказываем аналогичный результат, но с заменой минимального многочлена остаточной дроби на минимальный многочлен исходного алгебраического числа.
Введем следующие обозначения
$$ \delta(\alpha) = \min_{2\le j\leqslant n}|\alpha^{(1)} - \alpha^{(j)}|>0, $$
так как все корни различные.
Теорема. Пусть $\alpha=\alpha_{0}$ — вещественный корень неприводимого целочисленного многочлена
$$ f_{0}(x) = a_{n}x^{n} + a_{n-1}x^{n-1} + \ldots + a_{1}x + a_{0} \in \mathbb{Z}[x],\quad a_{n} > 0, $$
$\alpha=\alpha^{(1)}$, $\alpha^{(2)}$, ..., $\alpha^{(n)}$ – его корни, и число $\alpha$ имеет разложение в цепную дробь
$$ \alpha = \alpha_{0} = q_{0} + \cfrac1{q_{1} + \cfrac{1}{\ddots+\cfrac{1}{q_{k}+\cfrac{1}{\ddots}}}} . $$
Пусть номер $m_{0}=m_{0}(\alpha,\varepsilon)$ определен из неравенства
\begin{equation*} \frac{2(n-1)}{Q_{m_0-1}\delta(\alpha) } < \varepsilon, \end{equation*}
тогда для любого $m>m_{0}$ справедливы равенства $q_{m} = q_{m}^{*}$, если
$$ (-1)^{m}f_{0}(\frac{q_{m}^{*}P_{m-1}+P_{m-2}}{q_{m}^{*}Q_{m-1}+Q_{m-2}})>0\quad и\quad (-1)^{m}f_{0}(\frac{(q_{m}^{*}+1)P_{m-1}+P_{m-2}}{(q_{m}^{*}+1)Q_{m-1}+Q_{m-2}})<0, $$
$q_{m} = q_{m}^{*}+1$, если
$$ (-1)^mf_{0}(\frac{(q_{m}^{*}+1)P_{m-1}+P_{m-2}}{(q_{m}^{*}+1)Q_{m-1}+Q_{m-2}})>0, $$
$q_{m} = q_{m}^{*}-1$, если
$$ (-1)^mf_{0}(\frac{q_{m}^{*}P_{m-1}+P_{m-2}}{q_m^*Q_{m-1}+Q_{m-2}})<0, $$
где
\begin{equation*} q_{m}^{*} = [\frac{f'_{0}(\frac{P_{m-1}}{Q_{m-1}})}{Q_{m-1}^2 |f_{0}(\frac{P_{m-1}}{Q_{m-1}})|}-\frac{Q_{m-2}}{Q_{m-1}}]. \end{equation*}


Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017