RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
26 мая 2017 г. 12:45–13:15, г. Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова
 


On the irreducible solutions of the equation with inverses

[О неприводимых решениях уравнения с обратными величинами]

С. В. Конягин

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Видеозаписи:
MP4 833.5 Mb
MP4 211.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:194
Видеофайлы:50

S. V. Konyagin
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Рассмотрим симметричное диофантово уравнение
$$ \frac{1}{x_{1}}+\ldots + \frac{1}{x_{r}} = \frac{1}{x_{r+1}}+\ldots + \frac{1}{x_{2r}},\qquad(1) $$
в котором $r\geqslant 3$, а переменные $x_{1},\ldots, x_{2r}$ принимают значения целых чисел из промежутка $[1,N]$. Уравнения такого вида возникают в задачах теории чисел, связанных с оценками неполных сумм Клоостермана.
Решение уравнения (1) называется неприводимым, если ни одна из компонент $x_{1},\ldots, x_{r}$ не содержится среди компонент $x_{r+1},\ldots, x_{2r}$. Имеет место
Теорема 1. Пусть $N, r\geqslant 3$. Тогда для количества $J_{r}(N)$ неприводимых решений уравнения (1) в положительных целых числах $1\leqslant x_{1},\ldots, x_{2r}\leqslant N$ справедлива оценка:
$$ J_{r}(N)<e^{(3r)^{3}-90}N^{ r - r/(2(2r-1))} (\frac{\ln{N}}{r}+9)^{10r^{2}}\exp{(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}})}. $$

С помощью оценки теоремы 1 можно получить и асимптотическую формулу для количества $I_{r}(N)$ решений уравнения (1) в целых числах $1\leqslant x_{1},\ldots, x_{2r}\leqslant N$. Так, справедлива
Теорема 2. Пусть $N,r\geqslant 3$, Тогда для величины $I_{r}(N)$ справедливо равенство
$$ I_{r}(N) = r!N^{r}(1 + \delta_{r}(N)), $$
где
$$ |\delta_{r}(N)|\leqslant e^{(3r)^{3}-90}N^{- r/(2(2r-1))}(\frac{\ln{N}}{r}+9)^{10r^{2}}\exp{(\frac{26r^{3/2}\sqrt{\ln{N}}}{\ln{(r\ln{N})}})}. $$
В докладе предполагается рассказать об основных идеях, которые позволили доказать приведенные выше теоремы, а также некоторые другие утверждения, связанные с количеством решений уравнения (1).

Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018