RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция по теории чисел и приложениям в честь 80-летия А. А. Карацубы
25 мая 2017 г. 10:00, г. Москва, Математический институт им. В. А. Стеклова
 


The generation of an alternating group by modular additions

[Порождение знакопеременной группы модульными сложениями]

Ф. М. Малышев

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Видеозаписи:
MP4 879.1 Mb
MP4 223.0 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:75
Видеофайлы:17

F. M. Malyshev
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Рассматривается множество $V=\mathbb{Z}_q^n$, $n\geqslant 2$, представленное декартовой степенью кольца вычетов $\mathbb{Z}_q=\{0,1,... ,q-1\}$, целое $q\geqslant 2$. На множестве $V$ вводятся специальные подстановки $\pi=\pi_{(i_1,... ,i_r)}\in S_{V}$. Каждая такая подстановка задаётся подмножеством $\{i_{1},... ,i_{r}\}\subseteq\{1,... ,n\}$ и введённой на этом подмножестве линейной упорядоченностью: $i_{1}$ будет старшим номером, $i_{r}$ – младшим. Мощность $r$ подмножества, $1\leqslant r\leqslant n$, своя для каждой такой подстановки $\pi$ и может быть любой из указанного диапазона. Упорядоченность тоже может быть любой из $r!$ возможных. Если $\pi_{(i_{1},... ,i_{r})}(x_{1},... ,x_{n})=(y_{1},... ,y_{n})$, то $y_{i}=x_{i}$ для $i\notin\{i_{1},... ,i_{r}\}$, а
$$ \sum\limits_{t=1}^{r}y_{i_{t}}q^{r-t} = 1+\sum\limits_{t=1}^{r}x_{i_{t}}q^{r-t}\pmod{q^{r}}. $$

Множеству $\mathcal{S}=\{\pi_{1},... ,\pi_{s}\}$ таких подстановок ставим в соответствие группу $G=G_\mathcal{S}=\langle\pi_{1},... ,\pi_{s}\rangle$, ими порождаемую, и ориентированный граф $\Gamma=\Gamma_\mathcal{S}$ на множестве вершин $\{1,... ,n\}$. Если подстановки $\pi_{j}$ определяются соответственно наборами номеров $(i_1^{(j)},... ,i_{r_j}^{(j)})$, $j=1,... ,s$, то дугами графа $\Gamma$ являются: $i_t^{(j)}\leftarrow i_{t+1}^{(j)}$, $t=1,... ,r_j-1$, $j=1,... ,s$. Дуги направлены от младших номеров к старшим.
Теорема. Если граф $\Gamma=\Gamma_\mathcal{S}$ сильно связен, $\mathcal{S}=\{\pi_{1},... ,\pi_{s}\}$, $q\geqslant 2$, то группа $G=G_\mathcal{S}=\langle\pi_{1}, ... ,\pi_{s}\rangle$ содержит знакопеременную группу $A_{V}$ на множестве $V$, за единственным исключением при $q=2$, $n\geqslant 3$, $r_{j}\leqslant 2$ для всех $j=1,... ,s$, когда $G_\mathcal{S}=AGL(n,2)$ – полная аффинная группа, действующая на пространстве $GF(2)^{n}$.
Группа $G_\mathcal{S}$ совпадает со всей симметрической группой на $V$, когда $r_{j}=n$ для некоторого $j\in\{1,... ,s\}$, а $q$ чётно. Обратное к теореме утверждение очевидно, при нарушении сильной связности графа $\Gamma_\mathcal{S}$ группа $G_\mathcal{S}$ будет импримитивной.
Основная комбинаторная часть доказательства теоремы отводится установлению дважды транзитивности группы $G_\mathcal{S}$. Завершение доказательства оказалось возможным благодаря классификации конечных простых групп и доказанной в 2003 г. П. Михайлеску единственности решения уравнения $x^{z}-y^{t}=1$ в целых числах больших единицы: $3^{2}-2^ =1$, известной с 1884 года как гипотеза Каталана.
Приложение. Цветной монитор на $2^{10}\times2^{10}$ клеток (пикселей) – сегодняшняя реальность. У клетки $2^{8}$ оттенков. Всего на монитор отводится $2^{28}$ “кубиков”. Здесь $V=GF(2)^{2^{8}}$, $q=2$, $n=2^{28}$. Практика работы с изображениями предполагает потенциальную возможность получения любой чётной подстановки из $(2^{2^{28}})!/2$ возможных, причём желательно с помощью простых машинных операций.

Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017