RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», посвященная памяти Виталия Арнольда, 2017
28 июля 2017 г. 09:30, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Вокруг формулы Шлефли. Занятие 3

А. А. Гайфуллин
Видеозаписи:
MP4 2,921.8 Mb
MP4 664.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:44
Видеофайлы:34

А. А. Гайфуллин


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Предположим, что в пространстве движутся четыре точки, никогда не оказываясь в одной плоскости. В каждый момент времени рассмотрим тетраэдр с вершинами в этих точках. Оказывается, что скорости изменения двугранных углов этого тетраэдра (то есть их производные по времени) удовлетворяют замечательному соотношению
\begin{equation} \sum_{i=1}^6\ell_i(t) \dot{\theta_i}(t)=0. \end{equation}
Здесь $\ell_1,\ldots,\ell_6$ — длины рёбер тетраэдра, $\theta_1,\ldots,\theta_6$ — двугранные углы при этих рёбрах, а точка обозначает производную по времени. Это и есть простейший вариант формулы Шлефли. Такому же соотношению удовлетворяют и производные двугранных углов произвольного многогранника, который непрерывно изменяется с сохранением своего комбинаторного типа.
Ещё более интересный вид формула Шлефли принимает, если рассматривать многогранники не в евклидовом пространстве (пространстве нулевой кривизны), а в пространстве Лобачевского (пространстве постоянной отрицательной кривизны) или в сферическом пространстве (пространстве постоянной положительной кривизны). В этом случае в правой части формулы Шлефли вместо нуля будет стоять производная по времени объёма многогранника, умноженная на постоянный множитель ±2 (знак равен знаку кривизны). Поэтому формулу Шлефли можно применять для вычисления объёмов некоторых многогранников в неевклидовых пространствах.
Курс доступен школьникам. В частности, не требуется предварительное знакомство с геометрией Лобачевского.
Программа курса
  • Формула Шлефли в евклидовом пространстве. Разные её доказательства.
  • Необходимые сведения о плоскости и пространстве Лобачевского. Формула для площади многоугольника в плоскости Лобачевского или на сфере.
  • Формула Шлефли в неевклидовых пространствах постоянной кривизны.
  • Явные формулы для объёмов некоторых видов неевклидовых многогранников.
  • Аналитическое продолжение функции объёма симплекса в пространстве Лобачевского. Если успею: его применение для доказательства постоянства объёмов изгибаемых многогранников в трёхмерном пространстве Лобачевского.


Website: https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/gaifullin.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018