RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






XVII летняя школа «Современная математика», посвященная памяти Виталия Арнольда, 2017
29 июля 2017 г. 11:15, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Симметрические многочлены и многочлены Шуберта. Занятие 4

Е. Ю. Смирнов
Видеозаписи:
MP4 1,912.9 Mb
MP4 435.0 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:38
Видеофайлы:24

Е. Ю. Смирнов


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Многочлен от нескольких переменных $x_1,…,x_n$ называется \textit симметрическим}, если он инвариантен относительно любых перестановок переменных. Примерами таких многочленов являются, например, элементарные симметрические многочлены: $x_1+\ldots+x_n$, $\sum\limits_{ i \lt j } x_i x_j$, …, $x_1\ldots x_n$. Основная теорема о симметрических многочленах утверждает, что любой симметрический многочлен можно выразить через элементарные, причем единственным образом.
Мы начнем со следующего вопроса: а какие еще наборы многочленов можно взять вместо элементарных симметрических? Мы увидим несколько таких наборов, после чего определим многочлены Шура — базис в пространстве симметрических многочленов, параметризуемый разбиениями (т.е. диаграммами Юнга), и обсудим, чем этот базис замечателен. Например, коэффициенты при всех мономах любого многочлена Шура неотрицательны, что совершенно не очевидно из определения. Мы докажем этот факт комбинаторно, установив соответствие между этими мономами и таблицами Юнга — способами заполнить клетки диаграммы Юнга натуральными числами по определенным правилам.
Многочлены Шура оказываются полезными во многих комбинаторных задачах. С их помощью мы получим доказательство формулы Макмагона, вычисляющей количество трехмерных диаграмм Юнга — фигурок из кубиков, которые умещаются в коробку заданных размеров.
Во второй части нашего курса мы рассмотрим многочлены, обладающие частичными симметриями — т.е. инвариантные относительно не всех, а лишь некоторых перестановок. Эти многочлены можно описать иначе: они аннулируются соответствующими операторами разделенных разностей. Это даст нам уже базис в пространстве всех многочленов, обобщающий базис из многочленов Шура — его элементы называются многочленами Шуберта и параметризуются перестановками. Все коэффициенты многочленов Шуберта опять-таки будут неотрицательными. Они тоже допускают комбинаторное описание, но вместо таблиц Юнга нужно взять некоторые картинки, которые по-английски называются pipe dreams (и напоминают фигурки из одноименной компьютерной игры).
Если останется время, мы обсудим, как многочлены Шуберта и pipe dreams возникают в геометрии в связи с разложением Брюа для группы $GL(n)$.

Website: https://www.mccme.ru/dubna/2017/courses/esmirnov.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018