|
|
Конференция «Современная математика и ее приложения», посвященная подведению итогов реализации гранта РНФ № 14-50-00005
19 ноября 2018 г. 16:10–16:30, Направление «Теоретическая/математическая физика и топология», г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8)
|
|
|
|
|
|
Уравнение Кортевега–де Фриза и теория гиперэллиптических функций
В. М. Бухштабер |
Количество просмотров: |
Эта страница: | 272 | Видеофайлы: | 78 | Материалы: | 35 |
Фотогалерея
|
Аннотация:
Мы рассматриваем решения иерархии уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) $\dot{U} = 6UU' - U"'$ на функцию $U = U(x,t)$ в классе мероморфных функций $U(x,t) = u({\mathbf t})$ от $g$ переменных ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где $t_1 = x$, $t_3 = t$, и $u' = \frac{\partial}{\partial t_1}u, \dot{u} = \frac{\partial}{\partial t_3}u$. Зависимость от высших времён $t_{2g+1}, t_{2g+3}, \ldots$ задаётся формулой $$u(\mathbf{t}) = u(t_1 - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{1k}t_{2k-1}, \ldots, t_{2g-1} - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{gk}t_{2k-1}),$$ где $\alpha_{ij}$ – константы. Это приводит к системе уравнений С. П. Новикова, выделяющей конечнозонные (алгебро-геометрические) решения уравнения КдФ.
Для любой неособой гиперэллиптичекой кривой $V$ рода $g$ однозначно определена целая функция $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$, от ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где ${\mathbf \lambda}=(\lambda_4, \ldots ,\lambda_{4g+2})$ – параметры кривой $V$. В окрестности точки ${\mathbf t}=0$ коэффициенты разложения этой функции в ряд по ${\mathbf t}$ являются полиномами от $\lambda$. Логарифмические производные порядка $2$ и выше функции $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$ задают мероморфные функции на якобиане $Jac(V)$ кривой $V$, которые называются базисными гиперэллиптическими функциями. В случае $g=1$ это эллиптические функции Вейерштрасса.
Доклад посвящен результатам, полученным на основе теории базисных гиперэллиптичеких функций (см. V. M. Buchstaber,
V. Z. Enolskii, D. V. Leikin, Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, AMS Trans., 179:2, 1997, 1–33).
Положим $u_{2k} = -2 \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_{2k-1}} \ln \sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda}),\; k = 1,\ldots,g$. Функция $u_{2}$ задаёт решение иерархии КдФ. Показано, что иерархия КдФ, интегралы потоков КдФ и решения системы уравнений С. П. Новикова эффективно описываются в терминах дифференциального кольца от $g$ функций $u_{2}, \ldots ,u_{2g}$, которое изоморфно кольцу полиномов от $3g$ переменных $u_{2}, u_{2}',u_{2}", \ldots, u_{2g}, u_{2g}', u_{2g}"$.
В результате мы получаем $g$ интегрируемых полиномиальных динамических систем, задаваемых $g$ коммутирующими потоками в $3g$-мерном пространстве $\mathbb{C}^{3g}$. Эти системы имеют $2g$ общих полиномиальных интегралов.
Случай $g=1$ и 2 детально рассмотрен в работе “В. М. Бухштабер, Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза, Тр. МИАН, 2016, 294, 191–215”.
Материалы:
mian_18.pdf (332.0 Kb)
Статьи по теме:
|
|