Уравнение Кортевега–де Фриза и теория гиперэллиптических функций

Мы рассматриваем решения иерархии уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) $\dot{U} = 6UU' - U"'$ на функцию $U = U(x,t)$ в классе мероморфных функций $U(x,t) = u({\mathbf t})$ от $g$ переменных ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где $t_1 = x$,  $t_3 = t$, и $u' = \frac{\partial}{\partial t_1}u,  \dot{u} = \frac{\partial}{\partial t_3}u$. Зависимость от высших времён $t_{2g+1}, t_{2g+3}, \ldots$ задаётся формулой
$$u(\mathbf{t}) = u(t_1 - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{1k}t_{2k-1}, \ldots, t_{2g-1} - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{gk}t_{2k-1}),$$
где $\alpha_{ij}$ – константы. Это приводит к системе уравнений С. П. Новикова, выделяющей конечнозонные (алгебро-геометрические) решения уравнения КдФ. Для любой неособой гиперэллиптичекой кривой $V$ рода $g$ однозначно определена целая функция $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$, от ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где ${\mathbf \lambda}=(\lambda_4, \ldots ,\lambda_{4g+2})$ – параметры кривой $V$. В окрестности точки ${\mathbf t}=0$ коэффициенты разложения этой функции в ряд по ${\mathbf t}$ являются полиномами от $\lambda$. Логарифмические производные порядка $2$ и выше функции $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$ задают мероморфные функции на якобиане $Jac(V)$ кривой $V$, которые называются базисными гиперэллиптическими функциями. В случае $g=1$ это эллиптические функции Вейерштрасса. Доклад посвящен результатам, полученным на основе теории базисных гиперэллиптичеких функций (см. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, AMS Trans., 179:2, 1997, 1–33).

Положим $u_{2k} = -2 \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_{2k-1}}  \ln \sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda}),\; k = 1,\ldots,g$. Функция $u_{2}$ задаёт решение иерархии КдФ. Показано, что иерархия КдФ, интегралы потоков КдФ и решения системы уравнений С. П. Новикова эффективно описываются в терминах дифференциального кольца от $g$ функций $u_{2}, \ldots ,u_{2g}$, которое изоморфно кольцу полиномов от $3g$ переменных $u_{2}, u_{2}',u_{2}", \ldots, u_{2g}, u_{2g}', u_{2g}"$.
В результате мы получаем $g$ интегрируемых полиномиальных динамических систем, задаваемых $g$ коммутирующими потоками в $3g$-мерном пространстве $\mathbb{C}^{3g}$. Эти системы имеют $2g$ общих полиномиальных интегралов.
Случай $g=1$ и 2 детально рассмотрен в работе “В. М. Бухштабер, Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза, Тр. МИАН, 2016, 294, 191–215”.