RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция «Современная математика и ее приложения», посвященная подведению итогов реализации гранта РНФ № 14-50-00005
19 ноября 2018 г. 16:10–16:30, Направление «Теоретическая/математическая физика и топология», г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8)
 


Уравнение Кортевега–де Фриза и теория гиперэллиптических функций

В. М. Бухштабер
Видеозаписи:
MP4 283.5 Mb
MP4 624.1 Mb
Материалы:
Adobe PDF 332.0 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:221
Видеофайлы:69
Материалы:27

В. М. Бухштабер
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Мы рассматриваем решения иерархии уравнения Кортевега–де Фриза (КдФ) $\dot{U} = 6UU' - U"'$ на функцию $U = U(x,t)$ в классе мероморфных функций $U(x,t) = u({\mathbf t})$ от $g$ переменных ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где $t_1 = x$,  $t_3 = t$, и $u' = \frac{\partial}{\partial t_1}u,  \dot{u} = \frac{\partial}{\partial t_3}u$. Зависимость от высших времён $t_{2g+1}, t_{2g+3}, \ldots$ задаётся формулой
$$u(\mathbf{t}) = u(t_1 - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{1k}t_{2k-1}, \ldots, t_{2g-1} - \sum\limits_{k=g+1}^\infty \alpha_{gk}t_{2k-1}),$$
где $\alpha_{ij}$ – константы. Это приводит к системе уравнений С. П. Новикова, выделяющей конечнозонные (алгебро-геометрические) решения уравнения КдФ. Для любой неособой гиперэллиптичекой кривой $V$ рода $g$ однозначно определена целая функция $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$, от ${\mathbf t}= (t_1, \ldots, t_{2g-1})$, где ${\mathbf \lambda}=(\lambda_4, \ldots ,\lambda_{4g+2})$ – параметры кривой $V$. В окрестности точки ${\mathbf t}=0$ коэффициенты разложения этой функции в ряд по ${\mathbf t}$ являются полиномами от $\lambda$. Логарифмические производные порядка $2$ и выше функции $\sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda})$ задают мероморфные функции на якобиане $Jac(V)$ кривой $V$, которые называются базисными гиперэллиптическими функциями. В случае $g=1$ это эллиптические функции Вейерштрасса. Доклад посвящен результатам, полученным на основе теории базисных гиперэллиптичеких функций (см. V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, AMS Trans., 179:2, 1997, 1–33).

Положим $u_{2k} = -2 \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_{2k-1}}  \ln \sigma({\mathbf t};{\mathbf \lambda}),\; k = 1,\ldots,g$. Функция $u_{2}$ задаёт решение иерархии КдФ. Показано, что иерархия КдФ, интегралы потоков КдФ и решения системы уравнений С. П. Новикова эффективно описываются в терминах дифференциального кольца от $g$ функций $u_{2}, \ldots ,u_{2g}$, которое изоморфно кольцу полиномов от $3g$ переменных $u_{2}, u_{2}',u_{2}", \ldots, u_{2g}, u_{2g}', u_{2g}"$.
В результате мы получаем $g$ интегрируемых полиномиальных динамических систем, задаваемых $g$ коммутирующими потоками в $3g$-мерном пространстве $\mathbb{C}^{3g}$. Эти системы имеют $2g$ общих полиномиальных интегралов.
Случай $g=1$ и 2 детально рассмотрен в работе “В. М. Бухштабер, Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза, Тр. МИАН, 2016, 294, 191–215”.

Материалы: mian_18.pdf (332.0 Kb)

Статьи по теме:

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020