RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Конференция по комплексному анализу и математической физике, посвященная 70-летию А. Г. Сергеева
22 марта 2019 г. 16:50–17:20, г. Москва, МИАН, ул. Губкина, д. 8, конференц-зал
 


Boundary value problems on hypersurfaces and $\Gamma $-convergence

Roland Duduchavaab

a The University of Georgia
b A. Razmadze Mathematical Institute
Видеозаписи:
MP4 773.6 Mb
MP4 351.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:64
Видеофайлы:31

Roland Duduchava
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: We consider two examples of boundary value problems (BVPs) on hypersurfaces: heat conduction by an "isotropic" media, governed by the Laplace equation and bending of elastic "isotropic" media governed by Láme equations. The boundary conditions are classical Dirichlet-Neumann mixed type. The domain $\Omega^{h }:=\mathcal{C}\times (-h,h )$ is of thickness $2h$. Here $\mathcal{C}\subset \mathcal{S}$ is a smooth subsurface of a closed hypersurface $\mathcal{S}$ with smooth nonempty boundary $\partial \mathcal{C}$.
The object of the investigation is what happens with the above mentioned mixed boundary value problems when the thickness of the layer converges to zero $h\to0$. It is shown that the corresponding BVPs converge in the sense of $\Gamma$-convergence to a certain BVPs on the mid surface $\mathcal{C}$: The BVP for the Laplace equation converges to the BVP for the Dirichlet BVP for the Laplace-Beltrami equation, while for the Láme equation we get a new form of BVP for the shell equation.
The suggested approach is based on the fact that the Laplace and Láme operators are represented in terms of Günter's tangential and normal (to the surface) derivatives. Namely, if $\nu$ is the unit normal vector field on the surface, extended in the domain $\Omega_h$, the Günter's derivatives read
$$ \mathcal{D}_j:=\partial_j-\nu_j\mathcal{D}_4, \qquad \mathcal{D}_4 =\partial_\nu=\displaystyle\sum\limits_{k=1}^3\nu_k\partial_k,\qquad j=1,\ldots,n $$
and the Laplace-Beltrami operator on the surface $\mathcal{C}$ is represented as follows
$$ \Delta_\mathcal{C}=\mathcal{D}_1^2+\mathcal{D}_2^2+\mathcal{D}_3^2. $$
Moreover, the Laplace and the Láme operators in the domain
$$ \Delta_{\Omega^h}=\partial _1^2+\partial_2^2+\partial _3^2,\qquad \mathcal{L}_{\Omega^h}=-2\mu \Delta-(\lambda+2\mu) \nabladiv $$
are represented as follows:
$$ \Delta _{\Omega ^h}= \displaystyle\sum\limits_{j=1}^{4} \mathcal{D}_{j}^{2}+2\mathcal{H}_\mathcal{C}\mathcal{D}_4,\qquad \mathcal{L}_{\Omega^h}=-2\mu \Delta_{\Omega^h} -(\lambda+2\mu) \nabla_{\Omega^h}div _{\Omega^h}. $$
Here $\mathcal{H}_\mathcal{C}$ is the mean curvature of the surface $\mathcal{C}$ and
$$ \nabla_{\Omega^h}\varphi:=\{\mathcal{D}_1\varphi,...,\mathcal{D}_4 \varphi\}^\top,\qquad div_{\Omega^h}{\mathbf U}:=\sum_{j=1}^4\mathcal{D}_jU^0_j+\mathcal{H}_\mathcal{C} U^0_4,
{\mathbf U}=(U_1,U_2,U_3)^\top,\qquad U^0_j:=U_j-U^0_4,\quad U_4^0:=\langle\nu,{\mathbf U}\rangle,\quad j=1,2,3 $$
are the gradient and divergence.
The work is carried out in collaboration with T. Buchukuri and G. Tephnadze (Tbilisi).

Язык доклада: английский

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019