Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2019
23 июля 2019 г. 11:15–12:30, г. Дубна, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Случайные метрики на сфере

В. А. Клепцын
Видеозаписи:
MP4 2,264.4 Mb
MP4 1,569.2 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:168
Видеофайлы:61


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Из миллиона независимых подбрасываний честной монеты, скорее всего, будет около полумиллиона орлов; это — утверждение закона больших чисел. Явление следующего порядка — центральная предельная теорема, утверждающая, что отклонение от среднего значения будет порядка корня из числа подбрасываний — порядка тысяч. Более того, поделив отклонение на корень из числа подбрасываний, мы получаем случайное отклонение; его распределение с ростом числа подбрасываний становится всё более похожим на некоторое конкретное распределение.
В задаче, которой будет посвящена лекция, мы увидим аналогичный эффект в гораздо более сложной ситуации. Возьмём большое число — N — единичных квадратиков. Из этих квадратиков можно склеить (топологическую) сферу — например, можно склеить длинный цилиндр и заклеить его концы, или склеить «подушку» из двух больших квадратов со стороной $ \sqrt{N/2}$.
Способов сделать это очень и очень много; выберем из них один случайным образом. Как будет выглядеть такая сфера в типичном случае?
Например — эта сфера снабжена «римановой» метрикой, устроенной следующим образом: расстояние между точками есть длина кратчайшего пути между ними, а длина пути определяется как сумма (естественно определённых) задаваемых им длин внутри пересекаемых им квадратиков. Как ведёт себя с ростом N диаметр такой сферы? На что она становится похожей при стремлении N к бесконечности?
Оказывается, — это доказали в 2002 году Шассэн и Шеффер — диаметр сферы с такой случайной метрикой ведёт себя как корень четвёртой степени (а вовсе не квадратный!) из числа квадратиков N. Частичный же ответ на второй вопрос даёт теорема, полученная в 2011-м году одновременно и независимо Жаном-Франсуа Ле Галлем и Грегори Мьермонтом: она утверждает, что если метрику сжать в N^(1/4) раз, то полученная случайная метрика по своему распределению будет всё больше и больше похожа на некоторую случайную метрику. При этом сфера относительно этой случайной метрики с вероятностью 1 имеет (хаусдорфову) размерность 4 — а вовсе не 2!
Я не буду касаться совсем свежих работ на эту тему — упомянув лишь, что за работы в этой области Ясон Миллер и Скотт Шеффилд получили в 2017-м году премию Clay Mathematical Award.
Хотя сюжет и довольно сложный, интуитивного понимания понятия вероятности и некоторого знакомства с комбинаторикой для понимания большей части лекции должно быть достаточно.

Website: https://mccme.ru/dubna/2019/courses/kleptsyn-lect.html

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021