Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2019
25 июля 2019 г. 15:30–16:45, г. Дубна, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Дискриминанты и инварианты, занятие 4

В. А. Васильев
Видеозаписи:
MP4 2,507.7 Mb
MP4 1,301.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:151
Видеофайлы:57

В. А. Васильев


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Пусть имеется множество геометрических объектов, зависящих от параметров — например, пространство всех многочленов степени $d$ вида
$$ x^d + A_1x^{d-1} + …+ A_{d-1}x + A_d $$
, зависящих от своих коэффициетов $A_i$, или систем уравнений, или кривых в пространстве, или поверхностей; тогда дискриминантом называется множество объектов, качественно выделяющихся среди остальных. Например, дискриминантом в пространстве многочленов будет множество многочленов, имеющих кратные корни; при $d=2$ это множество — кривая в плоскости параметров $A_1, A_2$ полинома $x^2+A_1x+A_2$, заданная привычным дискриминантным уравнением $4A_2=A_1^2$.
Дискриминанты различных семейств объектов часто встречаются в математике и в жизни — например, их геометрию можно увидеть в очертаниях солнечных зайчиков (по-ученому называемых каустиками) и волновых фронтов. Кроме того, с их помощью удается эффективно различать неэквивалентные между собой неособые (то есть не лежащие на дискриминанте) объекты.
Задача различения обычно решается с помощью т.н. инвариантов — числовых характеристик, заведомо одинаковых у эквивалентных объектов. Например, если считать эквивалентными два многочлена без кратных корней, которые можно непрерывно продеформировать один в другой, не попадая на дискриминант, то простейшим инвариантом, полностью решающим задачу различения, является число корней. В более сложных ситуациях (например, при классификации пространственных или плоских кривых общего положения, или функций от многих переменных) для различения двух объектов можно продеформировать один из них в другой во всем пространстве, может быть несколько раз пересекая дискриминант, и посчитать, сколько раз, в каком направлении и в каких точках дискриминанта происходило пересечение. Зная структуру дискриминанта, из такой информации можно извлечь инварианты и строго доказать различие объектов.
Я расскажу про геометрию дискриминантов, возникающих в разных задачах, про их связь с каустиками, про задачи классификации кривых, про их простейшие (и не только) инварианты и о том, как в этих задачах используется топология дискриминантных множеств.

Website: https://mccme.ru/dubna/2019/courses/vassiliev.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021