Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Традиционная зимняя сессия МИАН–ПОМИ, посвященная теме «Анализ»
20 декабря 2019 г. 10:00–10:45, г. Санкт-Петербург, Санкт-Петербургское отделение Математического института им. В. А. Стеклова РАН, наб. реки Фонтанки, 27
 


Суммы Клоостермана с простыми числами и их применение

М. А. Королёв

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

Количество просмотров:
Эта страница:56

Аннотация: Пусть $q\ge 3$ – произвольное целое число, и пусть для целого $n$, взаимно простого с $q$, символ $\overline{n}$ обозначает вычет, обратный к $n$ по модулю $q$, т.е. решение сравнения $n\overline{n}\equiv 1 \pmod{q}$. Тригонометрическая сумма вида
$$ S(q;a,b) = \sum\limits_{\substack{n = 1 (n,q)=1}}^{q}\exp{(2\pi i \frac{a\overline{n}+bn}{q})} \tag{1} $$
называется полной суммой Клоостермана по модулю $q$. Суммы (1) естественным образом возникают при решении ряда задач аналитической теории чисел.

Наряду с (1) рассматриваются суммы более общего вида
$$ S(q;a,b;\mathcal{A}) = \sum\limits_{n\in \mathcal{A}}\exp{(2\pi i \frac{a\overline{n}+bn}{q})}, \tag{2} $$
также называемые суммами Клоостермана, в которых переменная пробегает некоторое множество $\mathcal{A}$ значений, взаимно простых с модулем $q$. В случае, когда множество $\mathcal{A}$ целиком содержится в приведённой системе вычетов $\mathbb{Z}_{q}^{*}$ по модулю $q$, и при этом $|\mathcal{A}|<\varphi(q)$, такие суммы называются, в отличие от (1), неполными суммами Клоостермана.

Нетривиальные оценки сумм (2), т.е. неравенства $|S(q;a,b;\mathcal{A})|\leqslant|\mathcal{A}|\Delta$, где $0<\Delta<1$, позволяют исследовать распределение величин $a\overline{n}+bn$, $n\in \mathcal{A}$, в кольце вычетов $\mathbb{Z}_{q}$, устанавливать разрешимость некоторых сравнений, содержащих величины $\overline{n}$, $n\in \mathcal{A}$, и т.д.

Частным случаем (2) являются суммы Клоостермана с простыми числами, т.е. суммы
$$ S_{1}(q;a,b;N) = \mathop{{\sum}'}\limits_{p\leqslant N}\exp{(2\pi i \frac{a\overline{p}+bp}{q})},\tag{3} $$
где штрих в знаке суммы означает, что $p\nmid q$. Величина $N$ называется длиной суммы $S_{1}$. Наибольшую трудность представляет оценка “короткой” суммы $S_{1}$, длина которой связана с модулем неравенством $N\leqslant q^{1-c}$, $0<c<1$.

Оценкам сумм (3) при различных предположениях относительно $q, N, a, b$ посвящены работы Э. Фуври и П. Мишеля [1], М.З. Гараева [2], Ж. Бургейна [3], Э. Фуври и И.Е. Шпарлинского [4], Р. Бейкера [5], Ж. Бургейна и М.З. Гараева [6] и ряд статей докладчика.

В докладе будет рассказано о новой оценке суммы $S_{1}$, справедливой для произвольного модуля $q\geqslant q_{0}(\varepsilon)$ и любых $a,b$, взаимно простых с $q$, при условии, что длина суммы $N$ удовлетворяет неравенствам $q^{ 3/4+\varepsilon}\leqslant N\leqslant q^{ 3/2-\varepsilon}$. Особое внимание будет уделено приложениям этой оценки к ряду задач теории сравнений.

В качестве примера будет рассмотрено сравнение вида
$$ g(p_{1}) + g(p_{2}) + \ldots + g(p_{k}) \equiv m\pmod{q}, \tag{4} $$
в котором $g(x) = a\overline{x}+bx$, $k\geqslant 3$ - фиксированное целое число, а переменные $p_{1},\ldots,p_{k}$ принимают значения простых чисел “короткого” промежутка $(1,N]$.

Упомянутая выше оценка позволяет получить для числа $I_{k}(q,N) = I_{k}(q,N;a,b,m)$ решений (4) выражение вида
$$ I_{k}(q,N) = \frac{(\pi(N))^{k}}{q} (\varkappa_{ k} + O(\Delta_{k})),\tag{5} $$
где $\pi(N)$ – количество простых чисел, не превосходящих $N$, $\Delta_{k} = \Delta_{k}(q,N)\to 0$ при $q\to +\infty$, а $\varkappa_{ k} = \varkappa_{ k}(q;a,b,m)$ - некоторая мультипликативная функция параметра $q$.

Величина $\varkappa_{ k}(q)$ является своеобразным аналогом “особого” (“сингулярного”) ряда, возникающего при решении аддитивных задач с помощью кругового метода. Отыскание всех троек $(a,b,m)\pmod{q}$, при которых формула (5) является асимптотической, является нетривиальной задачей, представляющей и самостоятельный интерес. В частности, можно доказать существование абсолютной постоянной $c_{1}>0$ такой, что для любого модуля $q$ с условием $(q,6)=1$ неравенство
$$ \varkappa_{k}(q;a,b,m) \geqslant c_{1} $$
выполняется равномерно по всем $a,b,m$ и $k\geqslant 7$ (в случае, если верна расширенная гипотеза Римана - и при $k\geqslant 5$). В случаях $q = 2^{n}$, $q = 3^{n}$, $n\geqslant 1$, можно указать значения $k$ и отвечающие им тройки $(a,b,m)$, для которых $\varkappa_{ k}(q;a,b,m)=0$.

Список литературы
  1. E. Fouvry, P. Michel, “Sur certaines sommes d'exponentielles sur les nombres premiers”, Ann. scient. Éc. Norm. Sup., 31:1 (1998), 93–130  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  2. М. З. Гараев, “Оценка сумм Клоостермана с простыми числами и применение”, Матем. заметки, 88:3 (2010), 41–64  mathnet  crossref
  3. J. Bourgain, “More on the sum -product phenomenon in prime fields and its applications”, Int. J. Number Theory, 1:1 (2005), 1–32  crossref  mathscinet  zmath
  4. E. Fouvry, I. E. Shparlinski, “On a ternary quadratic form over primes”, Acta Arithmetica, 150:3 (2011), 285–314  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  5. R. C. Baker, “Kloosterman sum with prime variable”, Acta Arith, 156:4 (2012), 351–372  crossref  mathscinet  zmath  scopus
  6. Ж. Бургейн, М.З. Гараев, “Сумма множеств, образованных обратными элементами в полях простого порядка, и полилинейные суммы Клоостермана”, Изв. РАН. Сер. матем., 78:4 (2014), 19–72  mathnet  crossref  mathscinet


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021