Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2021
24 июля 2021 г. 15:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Игра в пинг-понг с теннисным мячом: замощения аффинного пространства. Семинар 1

И. А. Смилга
Видеозаписи:
MP4 2,767.5 Mb
MP4 1,415.4 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:25
Видеофайлы:7
Youtube Video:

И. А. Смилга


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке



Аннотация: Все вы, вероятно, много раз видели периодические замощения евклидова пространства — на обоях, паркетах, кирпичных стенах, пчелиных сотах (в двумерном случае) и в кристаллах (в трёхмерном случае). Каждое такое замощение обладает группой симметрий, элементы которой являются евклидовыми изометриями и переводят плитки замощения друг в друга; и изучение этих групп является ключевым этапом для изучения самих замощений. Эти группы на настоящий момент хорошо известны, и для малой размерности полностью классифицированы: существует 17 таких групп в двумерном случае («группы орнамента») и 219 групп в трёхмерном случае («кристаллографические группы»). Все они обладают общим свойством, известным как теорема Бибербаха: любая такая $n$-мерная группа содержит подгруппу конечного индекса, изоморфную $\mathbb{Z}^n$. В частности, это значит, что она «почти» абелева.
Рассмотрим теперь группы аффинных (не обязательно евклидовых) преобразований — то есть преобразований, сохраняющих прямые линии и параллельность, но необязательно расстояния и углы — которые действуют вполне разрывно (или, что почти то же самое, которые являются группой симметрий некоторого локально конечного замощения). В 1983 году Маргулис сделал открытие, которое поразило математическое сообщество: оказывается, существуют такие группы (в трёхмерном пространстве), которые являются свободными. Иными словами, двойственный граф соответствующего замощения является бесконечным деревом. (Правда, плитки замощения при этом имеют бесконечный объём. Для компактных плиток высказывается предположение, что такого быть не может — это так называемая гипотеза Ауслендера, которая уже более 50 лет как остаётся открытой.)
Главная цель этого курса — дать подробное геометрическое описание этих групп, а также их обобщений (открытых немного позже) на размерность $4k+3$.
Пререквизиты: нужно знать основы линейной алгебры (как записать линейное преобразование с помощью матрицы; может быть, понадобятся билинейные формы). Также желательно (но, наверное, не строго обязательно) шапочное знакомство с теорией групп.

Website: https://mccme.ru/dubna/2021/courses/smilga.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021