Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Мемориальная конференция по аналитической теории чисел и приложениям, посвященная 130-летию со дня рождения И. М. Виноградова
14 сентября 2021 г. 12:00–12:30, г. Москва, МИАН, ул. Губкина, д. 8, ауд. 110 + online
 


Отклонение последовательностей Коробова–Главки

А. А. Илларионов

Хабаровское отделение Института прикладной математики Дальневосточного отделения Российской академии наук
Видеозаписи:
MP4 149.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:70
Видеофайлы:6

А. А. Илларионов


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Пусть $N\in \Bbb N$, $a=(a_1,\ldots,a_s)\in \Bbb Z^s$. Коробов (1959) и Главка (1962) независимо предложили использовать точки вида
$$ x^{(k)} = ( \{a_1k/N\},\ldots, \{a_sk/N\} )\quad (k=1,\ldots,N) $$
в качестве узлов многомерных квадратурных формул. Эта идея оказалась плодотворной и породила целое направление на стыке теории чисел и вычислительной математики.
Пусть $D_N(a)$ — отклонение последовательности $\{x^{(k)}\}_{k=1}^N$ от равномерного распределения. С теоретической и практической точки зрения разумно конструировать последовательности с как можно меньшим отклонением. Если $s=1$, $gcd(a_1,N)=1$, то $D_N(a_1)= 1/N$. Пусть $s\ge 2$. Наилучшая (на сегодня) верхняя оценка имеет вид
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N} \equiv \min_{a\in\Bbb Z_N^s} D_N(a) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1} N}{N} \ln\ln N $$
(Быковский; 2012). Есть основание полагать, что
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N} \underset{s} \gg \frac{\ln^{s-1} N}{N}. $$
При $s=2$ это неравенство вытекает из теоремы Шмидта. При $s\ge 3$ наилучшая (на сегодня) нижняя оценка имеет вид
$$ \mathfrak{D}^{(s)}_{N}\underset{s}\gg\frac{(\ln N)^{(s-1)/2 + \eta(s)}}{N}, $$
(Bilyk, Lacey, Vagharshakyan; 2008), где $\eta(s)$ — положительная постоянная, зависящая только от $s$.
В настоящей работе получены некоторые результаты, связанные с распределением последовательности $\{x^{(k)}\}_{k=1}^N$. В частности, доказано, что
$$ \frac{\ln^{s-1}N}{N\ln\ln N} \underset{s} \ll D_N(a) \underset{s}\ll \frac{\ln^{s-1}N}{N}\ln\ln N $$
для “почти всех” $a\in (\Bbb Z_N^*)^s$, где $\Bbb Z^*_N$ — приведенная система вычетов по модулю $N$.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2022