RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция «Анализ и особенности», посвященная 70-летию Владимира Игоревича Арнольда
22 августа 2007 г. 09:00, г. Москва
 


Статистики периодических и многомерных цепных дробей

В. И. Арнольд

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Видеозаписи:
Windows Media 222.1 Mb
Flash Video 229.4 Mb
MP4 229.4 Mb
Материалы:
Adobe PDF 2.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:832
Видеофайлы:398
Материалы:83

В. И. Арнольд


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Все неполные частные цепной дроби золотого сечения равны 1, но для случайного вещественного числа доля единиц среди неполных частных его цепной дроби гораздо меньше. Пропорции, в которых встречаются разные неполные частные, одинаковы для цепных дробей почти всех вещественных чисел. Они были найдены Гауссом и доказаны Кузьминым в 1928 году.
Для квадратичных иррациональностей цепные дроби периодичны. Я несколько десятков лет назад высказал гипотезу, что статистика их неполных частных в среднем такая же, как и для случайного вещественного числа. Усреднение производится здесь, например, по кругам $p^2+q^2\le R^2$ на плоскости квадратных уравнений $x^2+px+q=0$. Когда радиус $R$ стремится к бесконечности, доля, скажем, единиц (или любых конечных комбинаций неполных частных) среди элементов периодов цепных дробей всех иррациональностей круга стремится к доле единиц (или тех же комбинаций) для случайных вещественных чисел.
Эта моя гипотеза была недавно доказана В. А. Быковским и его учениками.
Но этим не исчерпывается статистика неполных частных квадратичных иррациональностей. Например, в качестве периодов (для упомянутых выше кругов) встречаются вовсе не любые конечные последовательности, удовлетворяющие статистике Гаусса–Кузьмина, а только палиндромы (последовательности, которые не меняются, если читать их задом наперед).
Палиндромами являются также периоды цепных дробей квадратных корней из рациональных чисел (для квадратных корней из целых чисел это открыл уже Галуа; полные доказательства открытых мною палиндромичностей дали мои ученицы Ф. Аикарди и М. Павловская).
В докладе будет рассказано об удивительных эмпирических и доказанных свойствах неполных частных цепных дробей квадратичных иррациональностей, в том числе о средней скорости роста длины периода $T(p,q)$ в зависимости от величины коэффициентов квадратного уравнения.
Оказывается, что средняя длина $T$ периода растет примерно как квадратный корень из дискриминанта квадратного уравнения, т.е. как $cR$ для средних по кругам радиусов $R$:
\begin{tabular}{c||c|c|c|c|c|c|c} $R$&4&20&36&52&68&84&100
\hline $T$&0.7&3.8&6.4&8.6&10.9&13.1&15.1 \end{tabular}


Материалы: arnold2.pdf (2.3 Mb)

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017