RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2011
19 июля 2011 г. 09:30, г. Дубна
 


Ортогональные полиномы. Лекция 1

А. И. Буфетов, С. М. Мкртчян
Видеозаписи:
Flash Video 3,071.3 Mb
Flash Video 505.5 Mb
MP4 505.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:2408
Видеофайлы:859
Youtube Video:

А. И. Буфетов, С. М. Мкртчян


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке



Аннотация: Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином $P_n(x)$ степени $n$ со старшим коэффициентом $1$, такой что величина
$$ \max_{x\in[-1,1]}|P_n(x)| $$
принимает наименьшее возможное значение.
Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой
$$ P_0(x)=1, \qquad P_n(x)=2^{1-n}\cos(n\arccos x), \quad n>1. $$
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.
Рассмотрим на отрезке $[a,b]$ положительную непрерывную функцию $\rho(x)$. Семейство полиномов $P_n$, $n\in\mathbb N\cup\{0\}$, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если
1. полином $P_n$ имеет степень $n$;
2. при $n_1\ne n_2$ выполнено
$$ \int_a^b P_{n_1}(x)P_{n_2}(x)\rho(x) dx=0. $$
Такое семейство $\{P_n\}$ единственно с точностью до умножения каждого $P_n$ на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке $[-1,1]$ полиномы Чебышева?
Если $[a,b]=[-1,1]$, а $\rho(x)\equiv1$, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.
Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.
Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018