Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика», 2011
19 июля 2011 г. 09:30, г. Дубна
 


Ортогональные полиномы. Лекция 1

А. И. Буфетов, С. М. Мкртчян
Видеозаписи:
Flash Video 3,071.3 Mb
Flash Video 505.5 Mb
MP4 505.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:2629
Видеофайлы:895
Youtube Video:

А. И. Буфетов, С. М. Мкртчян


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке



Аннотация: Рассмотрим задачу о полиномах, наименее уклоняющиеся от нуля. Требуется найти полином $P_n(x)$ степени $n$ со старшим коэффициентом $1$, такой что величина
$$ \max_{x\in[-1,1]}|P_n(x)| $$
принимает наименьшее возможное значение.
Эту задачу решил Чебышёв, доказавший, что искомые полиномы даются формулой
$$ P_0(x)=1, \qquad P_n(x)=2^{1-n}\cos(n\arccos x), \quad n>1. $$
Последовательность полиномов Чебышева — классический пример семейства ортогональных полиномов. Общее определение таково.
Рассмотрим на отрезке $[a,b]$ положительную непрерывную функцию $\rho(x)$. Семейство полиномов $P_n$, $n\in\mathbb N\cup\{0\}$, называется семейством ортогональных полиномов с весом, если
1. полином $P_n$ имеет степень $n$;
2. при $n_1\ne n_2$ выполнено
$$ \int_a^b P_{n_1}(x)P_{n_2}(x)\rho(x) dx=0. $$
Такое семейство $\{P_n\}$ единственно с точностью до умножения каждого $P_n$ на ненулевую константу. Упражнение для читателя: с каким весом ортогональны на отрезке $[-1,1]$ полиномы Чебышева?
Если $[a,b]=[-1,1]$, а $\rho(x)\equiv1$, то возникают так называемые полиномы Лежандра, впервые возникшие в работе Лежандра о движении планет в Солнечной системе и возникающие в самых разных областях математики.
Например, рассмотрим матрицу растущего формата, элементы которой задаются случаем. Как ведут себя собственные числа этой матрицы? Мы увидим, что ключевую роль в этой задаче играют как раз полиномы Лежандра.
Для понимания курса достаточно уметь интегрировать элементарные функции в объёме программы средней школы; таким образом, курс доступен школьникам.
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021