RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2011
24 июля 2011 г. 17:00, г. Дубна
 


Предтеория инстантонов. Лекция 1

Н. А. Тюрин
Видеозаписи:
Flash Video 352.5 Mb
Flash Video 1,800.1 Mb
MP4 352.5 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:1453
Видеофайлы:539

Н. А. Тюрин


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Есть такое правило — чем короче название статьи, тем длиннее аннотация.
Однако это правило очень грубое: если назвать этот миникурс просто «Инстантоны», то тогда не придется объяснять что такое предтеория. Но последний термин и так понятен: теория и история — две стороны одной медали, и если есть предыстория, то нетрудно догадаться, что такое предтеория. Это небольшое введение в большую и важную теорию.
Тем более, что сам термин «инстантон» достаточно широк (или многолик, как и его собрат — солитон). Если «погуглить его» (или «погуглить по нему»?), то результат будет совсем не тот, который будет нужен нам, — в первую очередь вы получите неоконченную статью из Википедии, из которой будет совершенно непонятно, почему речь у нас пойдет о компактных четырехмерных римановых многообразиях, а не о пространстве–времени Минковского, в котором только и возможны такие штуки, как мнемонизация времени, поворот Вика и т.п. Мы будем рассматривать другую, на первый взгляд не физическую, а математическую ситуацию: гладкое четырехмерное риманово многообразие $X$, снабженное римановой метрикой $g$, векторное расслоение $E$ над $X$ со структурной группой $\mathrm{SU}(2)$, эрмитовы связности на этом расслоении и их кривизны. Нашей главной задачей будет ознакомиться (пусть и поверхностно) со словарем предмета, который называется «Калибровочные теории», построить функционал Янга-Миллса на пространстве эрмитовых связностей на расслоении $E$ в присутствии метрики $g$ и определить его минимумы. Эти минимумы мы назовем инстантонами. Таким образом, инстантон для нас — это эрмитова связность на расслоении, обладающая некоторым свойством минимальности.
На первом занятии мы сначала кратко напомним что такое гладкое многообразие и риманова метрика на нём (причем нам для работы не надо будет вводить ни связности Леви-Чивита, ни кривизны). Далее, мы построим пространство форм, из которых соорудим комплекс де Рама. Воспользовавшись метрикой, построим оператор Ходжа и разложение Ходжа. Поскольку оператор Ходжа действует как инволюция на пространстве 2-форм, то возникает понятие автодуальности и антиавтодуальности. В качестве приложения мы покажем как теория гармонических форм Ходжа связана с уравнением Максвелла.
На втором занятии будут определены понятия связности и кривизны (потенциала и поля на языке физики) на векторных расслоениях. Перед этим, естественно, мы кратко напомним что такое расслоение. Мы обсудим основные свойства связностей и кривизн, введём действие калибровочной группы и представим простейшие примеры калибровочно инвариантных уравнений. Калибровочно инвариантные уравнения — не зависят от выбора калибровки, в каком-то смысле «от выбора координат», поэтому они играют роль законов природы и очень важны в физике.
На третьем занятии мы введём функционал Янга-Миллса и покажем его калибровочную инвариантность. Нетрудно показать, что его минимумы есть в точности решения уравнения антиавтодуальности (это легко следует из теории Ходжа). Если останется время и силы мы обсудим главный пример — случай, когда $X$ — кэлерово многообразие, метрика $g$ — кэлерова, и инстантон тогда соответствует структуре стабильного голоморфного расслоения на $E$.
Всё это мы, конечно, обсудим очень поверхностно, «чисто феноменологически», но как и всякая «пред...» — предваряет, то и мой рассказ будет трейлером к большому курсу, который я собираюсь прочесть на математическом факультете ВШЭ в грядущем учебном году.
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017