RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2012
29 июля 2012 г. 15:30, г. Дубна
 


Квантовые группы, узлы и полином Джонса. Лекция 4

И. В. Лосев
Видеозаписи:
Flash Video 1,349.2 Mb
MP4 1,349.2 Mb
Материалы:
Adobe PDF 1.4 Mb
Рисунок 9.8 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:397
Видеофайлы:130
Материалы:76

И. В. Лосев


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Изучение узлов – одна из классических задач топологии. По научному, узел – это вложение окружности в $\mathbb R^3$. Одна из основных задач при изучении узлов – построить инварианты, которые будут различать разные узлы. Существуют разные подходы к построению таких инвариантов, и нас будет интересовать один – диаграмный. При этом подходе, узел проектируется на плоскость, его проекция называется диаграммой. По диаграмме можно построить инвариант.
Один из самых известных инвариантов, который получается таким образом – это полином Джонса, построенный Джонсом в 1984 году (и ставший одним из ингредиентов его филдсовской медали). Этот полином можно определить элементарным образом, однако из этого элементарного определения не видно одного – почему он существует!
Один из способов доказывать существование (открытый Тураевым и отличный от исходного способа Джонса) состоит в исползовании квантовых групп. Квантовые группы восходят к работам ленинградской мат-физической школы по квантовой статистической физике, и, в полной общности, были определены Дринфельдом и Джимбо в 80-ых (что стало одним из ингридиентов филдсовской медали Дринфельда). Этим подходом мы и воспользуемся, при этом нам будет нужна только самая маленькая квантовая группа – $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, для которой большой науки не требуется.
Лекция 1: алгебры Хопфа.
1) Алгебры Ли: определение алгебр Ли; представления алгебр Ли и их тензорные произведения; универсальная обертывающая алгебра.
2) Алгебры Хопфа, мотивация: тензорные произведения; двойственность.
3) Алгебры Хопфа, определение: биалгебры, антипод.
Лекция 2: квантовая группа $U_q(\mathfrak{sl}_2)$.
1) $U_q(\mathfrak{sl}_2)$, как алгебра Хопфа: $U_q(\mathfrak{sl}_2)$ как ассоциативная алгебра; структура алгебры Хопфа; предел при $q\to1$.
2) Представления алгебры $U_q(\mathfrak{sl}_2)$.
3) $R$-матрица: обсуждение; конструкция.
Лекция 3: группа кос.
1) Косы и квантовые группы: уравнение Янга–Бакстера; группа кос и ее представле- ние через $R$-матрицу.
2) Косы и узлы: топологическое определение косы; умножение; замыкание косы и теорема Александера; теорема Маркова (без доказательства).
Лекция 4: Полином Джонса.
1) Полином Джонса через $R$-матрицу.
2) Дополнения.

Материалы: Losev_Lecture4.pdf (1.4 Mb), 5389.jpg (9.8 Kb)

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2012/courses/Losev.pdf
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017