RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная конференция «Анализ и особенности», посвященная 75-летию со дня рождения Владимира Игоревича Арнольда
18 декабря 2012 г. 15:40, г. Москва, МИАН
 


Fundamental groups of spaces of trigonal curves

[Фундаментальные группы пространств тригональных кривых]

В. И. Звонилов
Видеозаписи:
Flash Video 1,260.5 Mb
Flash Video 210.5 Mb
MP4 210.5 Mb
Материалы:
Adobe PDF 494.8 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:158
Видеофайлы:68
Материалы:40

V. I. Zvonilov
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Фундаментальные группы пространств неособых гиперповерхностей в фиксированных линейных системах на алгебраических многообразиях – это одно из естественных обобщений группы кос. Именно такие группы возникают, если пытаться обобщать метод кос в теории вещественных алгебраических кривых на большие размерности. Мы делаем первый шаг в этом направлении.
Пусть $\Sigma_k$ - поверхность Хирцебруха, т.е. рациональная линейчатая поверхность, $q:\Sigma _k \rightarrow C P^1$ - соответствующее $C P^1$-расслоение с исключительным сечением $s$, $s^2=-k<0$. Слои расслоения $q$ называются вертикальными.
Тригональной кривой на $\Sigma_k$ называется такая приведённая кривая $C\subset\Sigma_k$, не пересекающая образ сечения $s$, что сужение $q_C:C\rightarrow C P^1$ имеет степень 3.
Обозначим через $Trig_k$ множество всех тригональных кривых на $\Sigma_k$.
При стягивании исключительного сечения в точку поверхность $\Sigma_k$ превращается во взвешенную проективную плоскость $P(1,1,k)$ с координатами $x_0, x_1, y$, имеющими веса $1,1,k$, а тригональная кривая $C\subset\Sigma_k$ превращается в кривую, задаваемую уравнением Вейерштрасса
\begin{equation} y^3+b(x_0,x_1)y+w(x_0,x_1)=0,\label{1} \end{equation}
где $b$ и $w$ - однородные многочлены степеней $2k$ и $3k$. Многочлены $b$, $w$ определяются кривой $C$ однозначно с точностью до преобразования
\begin{equation} (b,w) \mapsto (t^2b,t^3w),   t\in C^*, \label{2} \end{equation}
поэтому $Trig_k=P(2,\ldots,2,3,\ldots,3)$ есть взвешенное проективное пространство комплексной размерности $5k+1$.
Пусть $d=4b^3+27w^2$ - дискриминант по $y$ уравнения (\ref{1}). Функция $j:C P^1\rightarrow C P^1, j=4b^3/d$, называется $j$-инвариантом кривой $C$. Построим звезду $St(j)$, проведя в $CP^1$ из каждого мнимого критического значения функции $j$ луч в $\infty$ (один луч может содержать другой). Граф $T\Gamma(j)=j^{-1}(RP^1\cup St(j))$ на $C P^1\cong S^2$ назовём тетратомическим графом тригональной кривой (ср. [1], п.5.3.1).
Обозначим через $J: Trig_k\rightarrow JTrig_k$ отображение, переводящее тригональную кривую в её $j$-инвариант. Пространство $T\Gamma_k=T\Gamma(JTrig_k)$ тетратомических графов тригональных кривых можно отождествить с фактор-пространством $Trig_k/PGL(2, C)$. Заметим, что последнее
является пространством модулей тригональных кривых на $\Sigma_k$.
С помощью отображения Ляшко-Лойенги (см. [2], § 5.1), заданного на $JTrig_k$, строится клеточное разбиение пространства $T\Gamma_k$.
Кривая $C\in Trig_k$ называется почти общей, если она неособа и не имеет перегибов с вертикальными касательными. Пусть $NSing_k\subset Trig_k$ – пространство неособых тригональных кривых, а $AlGen_k\subset NSing_k$ – подпространство почти общих кривых.

Теорема. Группы $\pi_1(AlGen_1)$ и $\pi_1(NSing_1)$ являются расширениями свободных групп, соответственно, с 9-ю и 8-ю образующими при помощи группы $Z_2$, а двумерные гомотопические группы этих пространств тривиальны.
Доказательство использует двойственное разбиение к упомянутому выше клеточному разбиению пространства тетратомических графов.
Для фундаментальных групп пространств $AlGen_k$ и $NSing_k$ находятся их образы в сферической группе кос из $6k$ нитей, рассматриваемой как конфигурационное пространство корней дискриминанта $d$ уравнения (\ref{1}).

Материалы: zvonilov_arnold75_2012.pdf (494.8 Kb)

Язык доклада: английский

Список литературы
  1. Degtyarev A., Itenberg I., Kharlamov V., “On deformation types of real elliptic surfaces”, Amer. J. Math., 130:6 (2008), 1561–1627  crossref  mathscinet  zmath  isi  scopus
  2. Звонкин А.К., Ландо С.К., Графы на поверхностях и их приложения, МЦНМО, М., 2010, 480 с.


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017