RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная молодежная конференция «Геометрия и управление»
15 апреля 2014 г. 15:30, г. Москва, МИАН
 


On Integrability of the Sub-Riemannian Geodesic Flow for Goursat Distribution

Sergey Agapov

Sobolev Institute of Mathematics, Novosibirsk, Russia
Видеозаписи:
Flash Video 112.5 Mb
Flash Video 673.6 Mb
MP4 112.5 Mb
Материалы:
Adobe PDF 475.7 Kb
Adobe PDF 82.8 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:141
Видеофайлы:51
Материалы:36

Sergey Agapov


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Consider the following optimal control problem:
$$ \dot{q}=u_1 f_1(q)+u_2 f_2(q), \qquad q \in \mathbb{R}^n, \quad u \in \mathbb{R}^2, $$
where $q = (x_1,x_2,…,x_n)^T, f_1=(1,0,-x_2,-x_3,…,-x_{n-1})^T,f_2=(0,1,0,0,\ldots,0)^T,$ boundary conditions:
$$ q(0)=q_0, q(t_1)=q_1, $$
quality functional:
$$ l=\int_{0}^{t_1} \sqrt{u^2_1+u^2_2} dt \rightarrow min, $$
where the point $q \in \mathbb{R}^n$ determines the state of the system, $u=(u_1,u_2)$ is a control, $t_1$ being fixed.
$ $
Notice that $f_1, f_2$ can be chosen just as they are up to any diffeomorphism. This is how the commutators of $f_1$ and $f_2$ look like:
\begin{align*} f_3&= \frac{\partial{f_2}}{\partial{q}}f_1 - \frac{\partial{f_1}}{\partial{q}}f_2 =[f_1,f_2] =(0,0,1,0,…,0)^T,
f_4&= \frac{\partial{f_3}}{\partial{q}}f_1 - \frac{\partial{f_1}}{\partial{q}}f_3 =[f_1,f_3]=(0,0,0,1,…,0)^T, &\ldots
f_n&= \frac{\partial{f_{n-1}}}{\partial{q}}f_1 - \frac{\partial{f_1}}{\partial{q}}f_{n-1} =[f_1,f_{n-1}]=(0,0,…,0,1)^T. \end{align*}

Nilpotent Lie algebra is generated by $f_1, f_2$:
$$ Lie(f_1, f_2) = span (f_1, f_2, …, f_n), $$
multiplication table being of the form:
$$ [f_1,f_2] = f_3, [f_1,f_3] = f_4, … , [f_1,f_{n-1}] = f_n. $$
All the others are equal to zero. These relations define the so-called Goursat distribution ([1], [2]).
$ $
Using the Pontryagin maximum principle, one can construct the Hamiltonian
$$ H(q,p,u) = \frac{u^2_1 +u^2_2}{2}=\frac{\dot{x_1}^2+\dot{x_2}^2}{2}=\frac{\langle p,f_1 \rangle ^2 + \langle p,f_2 \rangle ^2}{2}, $$
thus obtaining the following system:
$$ \tag{1} \begin{cases} \dot{x_1}=p_1-x_2 p_3 - …-x_{n-1} p_n,
\dot{x_2}=p_2,
\dot{x_3}=-x_2 \dot{x_1},
\ldots
\dot{x_n}=-x_{n-1} \dot{x_1},
\dot{p_1}=0,
\dot{p_2}=p_3 \dot{x_1},
\ldots
\dot{p_{n-1}}=p_n \dot{x_1},
\dot{p_n}=0.
\end{cases} $$
Let us introduce the new coordinates by the following way:
\begin{equation*} \begin{cases} P_1=p_1-x_2 p_3-x_3 p_4-…-x_{n-1} p_n,
P_n=p_n,
P_{n-1}=p_{n-1}-P_n x_1,
P_{n-2}=p_{n-2}-P_{n-1} x_1-P_n \frac{x_1^2}{2!},

P_3=p_3-P_4 x_1-P_5 \frac{x_1^2}{2!}-…-P_n \frac{x_1^{n-3}}{(n-3)!},
P_2=p_2.
\end{cases} \end{equation*}

The following theorem holds.
$ $
Theorem. (1) is the completely integrable system (in the Liouville sense). The whole set of the first integrals is as follows:
\begin{equation*} \begin{cases} F_n=P_n,
F_{n-1}=P_{n-1},

F_3=P_3,
F_2=P_2-P_3 x_1-…-P_n \frac{x_1^{n-2}}{(n-2)!},
F_1=H=\frac{1}{2} (P_1^2+P_2^2),
\end{cases} \end{equation*}


Thus one can consider the following “moment map”:
$$\Phi: (x, P) \rightarrow \begin{pmatrix} F_n
\ldots
F_1
\end{pmatrix}. $$

The primary aim here is to study critical points of this mapping and its properties. That's what we are keep working on.


Материалы: slides.pdf (475.7 Kb), abstract.pdf (82.8 Kb)

Язык доклада: английский

Список литературы
  1. R.L. Bryant, S.S. Chern, R.B. Gardner, H.L. Goldschmidt, P.A. Griffiths, Exterior differential systems. Mathematical Sciences Research Institute Publications, 1980.
  2. R. Montgomery, A tour of subriemannian geometries, their geodesics and applications. AMS, 2002.


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017