RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Международная молодежная конференция «Геометрия и управление»
16 апреля 2014 г. 10:50, г. Москва, МИАН
 


How Many Geodesics Are There between Two Close Points on a Sub-Riemannian Manifold?

Antonio Lerario

Institut Camille Jordan, Lyon, France
Видеозаписи:
Flash Video 1,779.3 Mb
Flash Video 297.0 Mb
MP4 297.0 Mb
Материалы:
Adobe PDF 62.7 Kb

Количество просмотров:
Эта страница:314
Видеофайлы:84
Материалы:26

Antonio Lerario


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Given a point $q$ on a Riemannian manifold and a small enough neighborhood $U$ of this point, then for every other point $p\in U$ there will be only one geodesic joining these two points entirely contained in $U$.
Moving to the sub-Riemannian case, the situation dramatically changes.
Consider for example, the standard Heisenberg group $\mathbb{R}^{3}$ with coordinates $(x, y)$ (here $y$ is the “vertical” coordinate). Then the number $\hat{\nu}(p)$ of geodesics joining the origin with the point $p=(x,y)$ is given by:
$$ \tag{1} \hat{\nu}(p)=\frac{8 \|y\|}{\pi\|x\|^2}+O(1) $$
One should notice, for instance, that when the point is “vertical” ($x=0$) there are infinitely many geodesics and when the point is “horizontal” ($y=0$) there are finitely many (in fact just one).
On a general sub-Riemannian manifold, given a point $q$ and privileged coordinates on a neighborhood $U$ of $q$, one can consider the associated family of dilations:
$$\delta_{\epsilon}:U\to U,\quad \delta_{\epsilon}(q)=q.$$
When $\epsilon$ is very small, the geometry of this family approaches a limit geometry: the sub-Riemannian tangent space at $q$ (a Carnot group).
Given another point $p\in U$, it is natural to ask for the number $\nu(\delta_\epsilon(p))$ of geodesics between $q$ and $\delta_\epsilon(p)$ (i.e. when the two points get closer and closer, in the sub-Riemannian sense).
In this talk I will show how to relate the asymptotic for $\nu(\delta_\epsilon(p))$ to the count on the associated Carnot group (as performed in formula (1) above). I will show, for instance, that for the generic $p\in U$:
$$\lim_{\epsilon \to 0}\nu(\delta_\epsilon(p))=\hat{\nu}(p)$$
and discuss related questions and applications.
This is joint work with L. Rizzi

Материалы: abstract.pdf (62.7 Kb)

Язык доклада: английский

Список литературы
  1. A. Lerario, L. Rizzi, Counting geodesics on sub-Riemannian manifolds, in preparation
  2. A. A. Agrachev, A. Gentile, A. Lerario, Geodesics and admissible-path spaces in Carnot groups, arXiv:1311.6727


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017