Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика», 2014
26 июля 2014 г. 15:30, г. Дубна
 


Нестандартный анализ. Занятие 3

М. Ф. Прохорова
Видеозаписи:
Flash Video 495.0 Mb
MP4 495.0 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:317
Видеофайлы:172

М. Ф. Прохорова


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Все физики и многие математики любят говорить о «бесконечно малых приращениях параметра», «бесконечно больших значениях функции» и так далее. Однако математики при этом обычно подразумевают возможность формализовать свои рассуждения, рассматривая сходящуюся к нулю последовательность или неограниченно возрастающую функцию («для любого $\varepsilon>0$ существует $\delta>0$» и так далее). Перевод интуитивно понятных «бесконечно малых» на язык «$\varepsilon$$\delta$» зачастую бывает очень утомителен. Нестандартный анализ, придуманный в 1960 году Абрахамом Робинсоном, позволяет обращаться с бесконечно малыми и бесконечно большими величинами как с обычными числами (и это лишь малая часть того, что он позволяет делать).
С тех пор возникли разные подходы к построению нестандартного анализа. Я расскажу про один из них: теорию внутренних множеств (IST = Internal Set Theory) Эдварда Нельсона. В этой теории к обычной теории множеств добавляется новое свойство (предикат) «стандартности», то есть про объект мы теперь можем сказать, является ли он стандартным.
Например: $100500$, $\pi$, $e$, $2\pi/e$ и так далее – стандартные числа, а вот бесконечно большие и бесконечно маленькие числа стандартными не являются (но существуют!). Логарифм и синус – стандартные функции, но существуют и нестандартные.
Взаимоотношения этого нового свойства «стандартности» с обычной теорией множеств регулируются тремя дополнительными аксиомами: идеализации (I), стандартизации (S) и переноса (T). При этом все теоремы «обычной» математики остаются верными (а неверных теорем не возникает), но у нас появляется дополнительный инструмент для их доказательства, а также расширяются выразительные возможности языка.
Я покажу, как использовать этот новый язык, на конкретных простых примерах. В частности, мы обсудим понятия предела, непрерывности, производной, интеграла, компактности и т.д., а также научимся решать «стандартные» задачи, используя «нестандартные» методы.
От слушателей требуется владение понятиями предела, непрерывности, производной. Желательно знакомство с элементарной теорией множеств.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/prokhorova.htm
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021