RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться






Летняя школа «Современная математика», 2014
29 июля 2014 г. 11:15, г. Дубна
 


Нормальные многообразия и насыщенные множества точек. Лекция 3

К. Г. Куюмжиян

Лаборатория алгебраической геометрии и ее приложений, Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики», г. Москва
Видеозаписи:
Flash Video 2,426.0 Mb
Flash Video 487.6 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:173
Видеофайлы:100

К. Г. Куюмжиян


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Данный курс лекций имеет в основном комбинаторный характер и мотивацию из алгебраической геометрии. В алгебраической геометрии хорошими являются нормальные многообразия и плохими — ненормальные, например, кривая $x^2 = y^3$. Во многих случаях проверка нормальности является комбинаторной задачей, и мы обсудим различные методы её решения. Курс будет посвящён преимущественно комбинаторной стороне вопроса, знания алгебраической геометрии не нужно.
Определение. Множество точек $v_1,v_2,\ldots,v_m$ в $\mathbb{Q}^n$ называется насыщенным, если
$$\mathbb{Z}_{\geqslant 0}(v_1,v_2,\ldots,v_m)=\mathbb{Q}_{\geqslant 0}(v_1,v_2,\ldots,v_m)\cup\mathbb{Z}(v_1,v_2,\ldots,v_m).$$

Типичная задача 1 (возникающая в алгебре и имеющая комбинаторный вид. Можно решать до начала курса). Пусть $n\geqslant 2$, $M$ — какое-то подмножество во множестве
$$\{(0,0,\ldots,0,\underset{$i$-е место}{1},0,\ldots,0,\underset{$j$-е место}{1},0,\ldots,0)\mid 1\leqslant i,j\leqslant n,i\neq j\}$$
(одна единичка и одна минус единичка). Доказать, что $M$ насыщенно.
Задача 2. Рассмотрим множество
$$\{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\midровно три раза -1\}.$$
Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
Задача 3. Рассмотрим множество
$$\{(\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1,\pm 1)\midчетное число минусов\}.$$
Докажите, что любое подмножество в нём является насыщенным.
Программа курса
На первом занятии мы обсудим простейшие свойства насыщенных множеств. После этого мы обсудим насыщенность применительно к графам. Графу без петель и кратных рёбер (но с пронумерованными вершинами) соответствует множество точек
$$\{e_i+e_j\mid ij-ребро в графе\}.$$
Алгебраистам важно знать, когда построенное множество насыщенно. Мы дадим комбинаторный ответ на этот вопрос. Если хватит времени, мы также разберём решение задачи 1.
Второе занятие будет посвящено матроидам. Я дам определение и докажу основные свойства. В большинстве книг при обсуждении матроидов вводится очень много аксиоматики и доказывается слишком много полезных свойств, мы постараемся ограничиться самым необходимым. Целью этого занятия будет доказательство теоремы Уайта:
Теорема 1. Для любой точки в аффинном конусе над классическим грассманианом $Gr(k,n)$ замыкание её $T$-орбиты нормально.
Комбинаторно это можно переформулировать так: множество векторов инцидентности баз матроида также является насыщенным.
На третьем занятии планируется изучить унимодулярные множества точек и их обобщения. Нужно знать, что такое определитель. Ключевым утверждением является теорема, доказанная Штурмфельсом.
Теорема 2. Если все ненулевые определители в нашем множестве точек равны по модулю, то данное множество насыщенно.
Мы разберём задачу 2 и обсудим задачу 3. Также планируется обсудить обобщение теоремы на те случаи, в которых не все определители равны.
Если хватит времени, то мы обсудим вопросы насыщенности в применении к системам корней и к неприводимым представлениям простых групп Ли.
Необходимые знания. От слушателей предполагается знание определения графа и знакомство с определителем (например, если вы знаете формулу объёма прямоугольного параллелепипеда в трёхмерном пространстве через определитель, этого должно хватить для понимания лекций). Остальные понятия будут определены.

Website: http://www.mccme.ru/dubna/2014/courses/kuyumzhiyan.htm
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018