Предельные теоремы для условных распределений редуцированных разложимых критических ветвящихся процессов

Рассматривается строго критический ветвящийся процесс Гальтона–Ватсона с $N$ типами частиц, занумерованных числами $1,2,…,N$, в котором частицы типа $i$ могут производить потомков лишь типов $j\geq i.$ При условии, что процесс начинается с одной частицы типа 1 и не вырождается к моменту $n$, изучаются числа $Z_{i}(m,n)$ частиц типа $i,$ существовавших в момент $m<n$ и имеющих непустое потомство в момент $n$.
Показано, в частности, что распределения последовательности процессов
$$ \mathbf{Z}(n^t,n)=(Z_{1}(n^t,n),…,Z_{N}(n^t,n)),\qquad t\in[0, 1], $$
при условии невырождения к моменту $n\to\infty$ сходятся к распределению ступенчатого процесса с фиксированными границами $N$ ступенек, у которого на каждой ступеньке отлична от 0 только одна координата. Описаны процессы переходов между ступеньками, найдено предельное распределение расстояния до ближайшего общего предка всех частиц, существующих в процессе в далекий момент $n$.