Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2019
23 июля 2019 г. 09:30–10:45, г. Дубна, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Замощения ромбиками и их случайные перестройки, занятие 3

Л. А. Петров
Видеозаписи:
MP4 2,596.1 Mb
MP4 2,264.3 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:97
Видеофайлы:22


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Замощение — это представление одной фигуры в виде объдинения фигур из данного (обычно конечного) набора, без пробелов и перекрытий. Задачи о замощениях плоскости и других фигур часто очень нетривиальны, и возникают во многих областях математики. Мы будем заниматься замощениями многоугольников, нарисованных на треугольной решетке, ромбами трех типов. Каждый ромб в нашем наборе — объединение двух правильных треугольников, соседних по стороне, например как на картинке ниже.
Первым делом мы подсчитаем, сколькими способами можно замостить некоторые многоугольники, в том числе, шестиугольник (кстати, для общего многоугольника формула неизвестна). Число замощений шестиугольника дается красивой формулой МакМагона, которой больше ста лет. (В Кембриджском Университете Перси МакМагон, по некоторым источникам, соревновался с Рамануджаном в подсчете числа разбиений — МакМагон приводил точные значения, а Рамануджан пользовался асимптотической формулой.)
Подсчет замощений естественно обобщить, вводя дополнительные параметры. Производящие функции замощений некоторых многоугольников — это замечательные симметрические многочлены Шура, встречающиеся почти во всех областях математики.
Замощений данного достаточно большого многоугольника очень много (порядка экспоненты от площади). В конце 20 века, с появлением компьютеров, математики смогли увидеть, как выглядит замощение, выбранное совершенно случайно из этого гигантского набора.
Эти примеры вызвали новый интерес к замощениям, уже с вероятностной стороны, что привело к новым красивым результатам. Как на практике получить картинку случайного замощения? Нельзя просто так выписать все возможные замощения и выбрать одно из них — на это не хватит памяти ни у одного компьютера. Оказывается, решение лежит в области «случайных перестроек» замощений — начинаем с одного, и случайно его меняем. Если это делать правильно, то после большого числа шагов получим искомую случайную картинку.
1. Замощения шестиугольника ромбиками трех типов. Различные описания замощений. Элементарный подсчет в частных случаях. Формула МакМагона и ее q-версия.
2. Уточненный подсчет замощений со многими параметрами. Рекуррентное соотношение. Многочлены Шура.
3. Поведение больших случайных замощений.
4. Марковские цепи и обратимость.
5. Случайные перестройки замощений.

Website: https://mccme.ru/dubna/2019/courses/petrov.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021