Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2019
19 июля 2019 г. 15:30–16:45, г. Дубна, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Экстремальные конфигурации точек на сфере, занятие 1

О. Р. Мусин
Видеозаписи:
MP4 2,354.9 Mb
MP4 2,354.9 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:222
Видеофайлы:56


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Одними из самых первых математических этюдов на сайте etudes.ru были «Контактное число шаров и сферические коды» и «Задача Томсона». В первом этюде разбирался вопрос Ньютона–Грегори (1694) о том, как много одинаковых бильярдных шаров можно расположить в пространстве вокруг центрального шара того же радиуса? Несмотря на простую формулировку, эта задача оказалась довольно трудной и строгое доказательство того, что шаров не может быть больше 12 появилось только спустя 260 лет после постановки задачи.
Обобщением этой задачи является задача Таммеса (1930): единичного шара в пространстве касается N одинаковых непересекающихся шаров; какой может быть их максимальный радиус? На сегодняшний день решение этой задачи известно для N<15 и N=24. Замечу, что случаи N=13 и N=14 сделаны недавно в наших совместных работах с А. С. Тарасовым при помощи компьютерного перебора контактных графов. На первом занятии для задач Ньютона–Грегори и Таммеса мы разберем методы их решения и обсудим новые подходы.
На втором занятии мы рассмотрим конфигурации точек на сфере, которые минимизируют заданную потенциальную энергию системы. В задаче Томсона (1904) необходимо найти такое расположение N одинаковых точечных зарядов на поверхности сферы, при котором их взаимное отталкивание минимально. Эта задача и родственные с ней задачи оказались очень трудными и, в частности, задача Томсона решена всего для нескольких N (N<7 и N=12). Отмечу, что для N=5 несмотря на большие усилия получено только «переборное» компьютерное решение. Недавно, в нашей совместной работе с П. Д. Драгневым, мы описали все Log-оптимальные конфигурации N=d+2 точек на сфере в d-мерном пространстве. Идея доказательства пришла из комбинаторной геометрии (теорема Радона), однако потребовались немалые усилия и «олимпиадные» трюки, чтобы эту идею реализовать.
На третьем занятии мы обсудим множества точек в пространстве или на сфере, расстояния между которыми принимают не более чем два значения. Мы разберем вопрос о том, как много точек может иметь такое множество, а также какие конфигурации образуют точки из экстремальных наборов. На плоскости такое множество может состоять из пяти точек — вершин правильного пятиугольника. В трёхмерном пространстве максимальная мощность (размер) таких множеств равна шести и оказывается, что имеется шесть различных (не изометричных) конфигураций. Недавно получен значительный прогресс по максимальной мощности сферических множеств с двумя расстояниями. Я также расскажу о теории Эйнхорна–Шёнберга и о классификации с помощью нее всех множеств с двумя расстояниями на плоскости и в пространстве.

Website: https://mccme.ru/dubna/2019/courses/musin.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021