Видеотека
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Видеотека
Архив
Популярное видео

Поиск
RSS
Новые поступления






Летняя школа «Современная математика» имени Виталия Арнольда, 2021
28 июля 2021 г. 15:30, Московская область, г. Дубна, дом отдыха «Ратмино»
 


Гомологические сферы и алгоритмическая неразрешимость в топологии. Семинар 3

А. А. Гайфуллин
Видеозаписи:
MP4 3,512.7 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:79
Видеофайлы:38

А. А. Гайфуллин


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Одной из ключевых проблем, определивших развитие топологии и геометрии в 20-м веке, стала знаменитая гипотеза Пуанкаре, утверждающая, что всякое односвязное компактное трехмерное многообразие без края топологически эквивалентно (строго говоря, гомеоморфно) стандартной трехмерной сфере. О трехмерном многообразии можно думать, как об объекте, который локально (в окрестности каждой точки) устроен как наше обычное трехмерное пространство. Ключевым в формулировке гипотезы является слово «односвязное», означающее, что в рассматриваемом многообразии всякая замкнутая кривая (петля) может быть непрерывно стянута в точку или, что эквивалентно, заклеена топологическим диском.
Гипотеза Пуанкаре была доказана в серии замечательных работ Г. Я. Перельмана 2002—2003 годов. Однако содержание курса будет связано не с доказательством этой гипотезы, а с ее возникновением. Изначально (в 1900 году) Анри Пуанкаре сформулировал свою гипотезу неправильно. Вместо условия односвязности он потребовал выполнения лишь более слабого условия, а именно, того, что каждая замкнутая кривая в многообразии должна заклеиваться ориентированной двумерной поверхностью (не обязательно диском!). В 1904 году Пуанкаре сам нашел контрпример к изначальной версии своей гипотезы и уточнил ее формулировку. Этот контрпример — трехмерное многообразие, называемое с тех пор гомологической сферой Пуанкаре, — будет главным объектом первой половины курса. Я расскажу о различных конструкциях сферы Пуанкаре, связанных с группой симметрии правильного икосаэдра, кватернионами, перестройками вдоль узлов и зацеплений, диаграммой Дынкина $E_8$.
Вторая половина курса будет посвящена 4- и 5-мерным гомологическим сферам и их связям с теорией групп и теоремами об алгоритмической неразрешимости в топологии. Я расскажу о принадлежащей М. Керверу характеризации фундаментальных групп 5-мерных гомологических сфер, теореме А. А. Маркова (младшего) об алгоритмической неразрешимости проблемы гомеоморфности для четырехмерных многообразий и теореме С. П. Новикова об алгоритмической нераспознаваемости пятимерной сферы, а также об их более современных следствиях и открытых проблемах в этой области.
Пререквизиты: несмотря на наличие слова «гомологические» в названии, никакого знакомства слушателей с теорией гомологий предполагаться не будет. Мне понадобятся только одномерные и (во второй половине курса) двумерные гомологии, которые легко определяются без общей теории, и я расскажу все необходимые мне факты о них. Полезно (но не обязательно) знакомство слушателей с понятием фундаментальной группы и (на интуитивном уровне) с понятием многообразия. А вот что будет по-настоящему нужно, так это уверенное знакомство с основами теории групп (смежные классы, нормальные подгруппы, теорема о гомоморфизме, классы сопряженности, группы перестановок).

Website: https://mccme.ru/dubna/2021/courses/gaifullin.html
Цикл лекций

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021