Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары






Современные проблемы теории чисел
10 декабря 2020 г. 12:45, г. Москва, ZOOM
 


Об интеграле Ютилы в проблеме круга (по совместной работе с Д.А.Поповым)

М. А. Королёв

Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
Видеозаписи:
MP4 327.7 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:95
Видеофайлы:26


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  2. Сообщите администратору портала о данной ошибке

Аннотация: Пусть $\Delta(x)$ - остаточный член в проблеме делителей Дирихле, т.е.
$$ \Delta(x) = \sum\limits_{n\leqslant x}\tau(n) - x(\log{x}-2\gamma-1). $$
Имеется гипотеза, согласно которой
$$ \Delta(x+U)-\Delta(x) \ll x^{\varepsilon}\sqrt{U}\quadпри\quad 1\leqslant U\ll \sqrt{x},\quad x\to +\infty. $$
Известно, что из нее следует решение проблемы делителей, т.е. оценка $\Delta(x) = x^{1/4+\varepsilon}$. Для изучения разности $\Delta(x+U)-\Delta(x)$ М. Ютила ввел в 1984 г. в рассмотрение интеграл
$$ \mathcal{Q}_{\Delta}(X,H;U) = \int_{X}^{X+H}(\Delta(x+U)-\Delta(x))^{2}dx $$
и получил для него при $1\leqslant U\ll \sqrt{X}$ (и некоторых ограничениях на $H$) правильные по порядку верхнюю и нижнюю оценки. Из них, в свою очередь, следовало, что «корреляционная функция» величины $\Delta(x)$, т.е.
$$ K_{\Delta}(X,H;U) = \int_{X}^{X+H}\Delta(x+U)\Delta(x)dx $$
принимает при указанных $U$ максимально возможное значение. Последнее вполне согласуется с интуитивно ожидаемым наличием сильной «зависимости» между $\Delta(x)$ и $\Delta(x+U)$ при малых $U$. Все сказанное остаётся справедливым (с минимальными изменениями) и для функции $P(t)$ - остаточного члена в проблеме круга, т.е.
$$ P(t) = \sum\limits_{a^{2}+b^{2}\leqslant t}1 - \pi t. $$

Задачу изучения «корреляционной функции» $K_{\Delta}(X,H;U)$ (и, таким образом, $K_{P}(X,H;U)$) при $U\gg \sqrt{X}$ Ютила посчитал малоинтересной, поскольку в таком случае $\Delta(x)$ и $\Delta(x+U)$, равно как $P(t)$ и $P(t+U)$ должны вести себя как независимые случайные величины.
Однако поведение функции
$$ \mathcal{K}_{P}(T,H;U) = \int_{T}^{T+H}(P(t+U)-P(t))^{2}dt $$
при $\sqrt{T}\ll U\ll T$ оказывается более сложным, чем можно было бы ожидать. Рассказу о том, что происходит с $\mathcal{K}_{P}(T,H;U)$, и посвящён доклад.
Идентификатор конференции: 942 0186 5629 Код доступа-шестизначное число, первые три цифры которого образуют число p+44, а последние три цифры-число q+63, где p,q-наибольшая пара близнецов, меньших 1000.

Website: https://mi-ras-ru.zoom.us/j/94201865629?pwd=aUlIbFBFelhFTjhnUnZtdTNFL1IvZz09

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021