RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
7 октября 2015 г. 18:30, г. Москва, мехмат МГУ, ауд. 16-22
 


$n$-жесткие функции и функциональное уравнение Хирцебруха

В. М. Бухштаберab

a Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва
b Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:170

Аннотация: В основе доклада лежит совместная работа с И. В. Нетаем.
Рассмотрим функцию $f(x)$ комплексного переменного $x$, регулярную в окрестности точки $x=0$, для которой $f(x)=x+O(x^2)$. Положим
\begin{equation} \label{def:F} F(x)=F(x;x_0,\ldots,x_n)=\prod_{i=0}^n \frac{1}{f(x-x_i)}. \end{equation}
Выберем окрестность $U$ точки $x=0$, чтобы функция $f(x)$ в этой окрестности не имела нулей, кроме $x=0$. Функция $f(x)$ называется $n$-жёсткой, если сумма вычетов функции $F(x)$ в $U$ не зависит от выбора набора не совпадающих точек $x_0,\ldots,x_n\in U$.
Ясно, что функция $f(x)$ является $n$-жёсткой тогда и только тогда, когда ряд $x+\sum\limits_{k\geqslant 1}f_kx^{k+1}$, задающий функцию $f(x)$ в окрестности $x=0$, удовлетворяет функциональному уравнению
\begin{equation} \label{main eq} \sum_{j=0}^n\prod_{i\neq j}^n \frac{1}{f(x_j-x_i)}=C=\operatorname{const}. \end{equation}

Уравнение \eqref{main eq} мы называем $n$-уравнением Хирцебруха, который нашёл фундаментальные приложения решениям этого уравнение в алгебраической топологии. Например, приложение двупараметрического рода Тодда опираются на то, что функция
\begin{equation} \label{def:Todd} f(x)=\frac{e^{ax}-e^{bx}}{ae^{bx}-be^{ax}} \end{equation}
является $n$-жёсткой для всех $n$ и всех значений параметров $a$ и $b$. Отметим, что, как было показано недавно, функция $f(x)$ является $n$-жёсткой для всех $n$ тогда и только тогда, когда она имеет вид \eqref{def:Todd}.
Используя классическую теорию эллиптических функций, нетрудно показать, что эллиптические функции уровня $d$ являются $n$-жёсткими, если $d$ делит $n+1$.
В недавней работе с Е. Ю. Буньковой классифицированы все $2$-жёсткие функции. В работе с И. В. Нетаем классифицированы все $3$-жёсткие функции. Доказательство этих результатов оказалось нетривиальным и существенно использует аппарат теории многочленов Шура.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020