RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела математической логики «Теория доказательств»
28 сентября 2015 г. 18:30, г. Москва, МИАН, ауд. 530
 


О независимых принципах в совместной логике задач и высказываний. Часть 1

С. А. Мелихов

Количество просмотров:
Эта страница:40

Аннотация: Поскольку аксиомы логики задач и высказываний QHC являются попыткой более полной (по сравнению с обычными аксиомами интуиционистской логики) формализации наиболее известных интуитивных “объяснений” интуиционистской логики (а именно, задачной интерпретации Колмогорова–Гейтинга–Крайзеля и доказуемостной интерпретации Орлова–Гейтинга–Гёделя – которые с точки зрения аксиом QHC имеют непустое пересечение, но не сводятся друг к другу), представляет самостоятельный интерес исследование принципов, выразимых в языке логики QHC, но не доказуемых и не опровержимых в ней.
Если ограничиться рассмотрением принципов, добавление которых к QHC не нарушает её консервативности ни над интуиционистской, ни над классической логикой, то из нескольких десятков бескванторных схем, выражающих простейшие напрашивающиеся предположения о возможностях QHC (в основном это эквивалентности, в которых одна из импликаций легко выводится из аксиом), каждая оказывается равносильной одному из 6 принципов; все импликации между этими 6 принципами установлены. С учётом кванторов добавляется ещё не более 6 принципов. Некоторые попарные конъюнкции данных 12 принципов уже не консервативны над интуиционистской логикой – и имеют в качестве следствий (а иногда даже в качестве эквивалентных переформулировок) принцип де Моргана, сильный принцип Маркова, принцип сдвига двойного отрицания, принцип постоянной области, принцип независимости от посылки.
Львиная доля содержательных переформулировок почему-то приходится на два из 12 упомянутых принципов – ровно те из них, которые были высказаны (в неформальном виде) уже Гильбертом и Колмогоровым. Оба этих принципа (в их исторической форме) относятся к вариациям интуиционистских понятий “разрешимости” ($\alpha\lor\neg\alpha$) и “стабильности” ($\neg\neg\alpha\to\alpha$). В логике QHC кроме разрешимых и стабильных задач естественным образом обнаруживаются также разрешимые и стабильные высказывания, а также полустабильные и полуразрешимые задачи и высказывания. Принцип стабильности Колмогорова (сформулированный им в письме к Гейтингу, опубликованном лишь в 1988 г.) состоит в том, что всякое предложение есть либо задача (в смысле, вполне согласующемся с интуиционистской логикой), либо “экспериментально проверяемое” высказывание; с учётом формальных свойств “экспериментально проверяемых” высказываний, явно указанных Колмогоровым, в рамках логики QHC естественно отождествить их со стабильными (или, эквивалентно, полустабильными) высказываниями (а не только с высказываниями типа $\Pi_1$).
Гильбертов принцип “non ignorabimus” (о разрешимости всякой математической проблемы, “либо в форме фактического ответа на поставленный вопрос, либо через доказательство невозможности его решения”) был сформулирован им в предисловии к известному списку из 23 проблем, и спустя 25 лет дословно повторен в статье, содержащей набросок (ошибочного) доказательства континуум-гипотезы, “первый и важнейший шаг которого состоит в доказательстве разрешимости всякой математической проблемы”. Хотя утверждение Гильберта о том, что всякий математик разделяет его убеждение о разрешимости всех математических проблем, было вскоре опровергнуто Брауэром (не разделявшим этого убеждения ни в каком виде), Гильберт недвусмысленно указывал, что он говорит не об общем методе решения, а лишь о его существовании в каждом отдельно взятом случае. Поэтому в QHC гильбертов принцип “non ignorabimus” (отсылающий к латинской максиме “ignoramus et ignorabimus”, кодирующей в свою очередь популярную в конце 19-го века позицию в естествознании, отстаивавшуюся Э. Дюбуа-Реймоном) естественно понимать как полуразрешимость (или, эквивалентно, полустабильность) всех задач. В таком виде этот принцип оказывается весьма далёк от принципа разрешимости всех задач одним общим методом, отвергаемого в интуиционистской логике (и обычно отождествляемого интуиционистами вслед за Брауэром с принципом исключённого третьего для высказываний – чего конечно не следует делать при подходе Колмогорова, на котором основана логика QHC). Действительно, не только гильбертов “non ignorabimus”, но и принцип стабильности Колмогорова, который оказывается строго более сильным, не влечёт ни метода разрешения всех задач, ни какого-либо другого независимого принципа интуиционистской логики.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019