Семинары
RUS  ENG    ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB  
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары






Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
15 марта 2017 г. 18:30, г. Москва, мехмат МГУ, ауд. 16-22
 


Арифметические группы отражений в пространствах Лобачевского

Н. В. Богачевab

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
b Московский физико-технический институт (государственный университет), г. Долгопрудный Московской обл.

Количество просмотров:
Эта страница:92

Аннотация: Пусть $F$ – вполне вещественное поле алгебраических чисел и $A$ – кольцо его целых элементов. Пусть $f(x) = \sum_{i,j = 0}^n a_{ij} x_i x_j$ – такая квадратичная форма над $F$ сигнатуры $(n,1)$, что при любом нетождественном вложении $s \colon F \to \mathbb{R}$ соответствующая квадратичная $f^s (x) = \sum_{i,j = 0}^n s(a_{ij}) x_i x_j$ является положительно определенной. В таком случае группа $O(f , A)$ целочисленных (с коэффициентами из кольца $A$) линейных преобразованиий, сохраняющих форму $f$ и не меняющих местами связные компоненты конуса ${x \in\mathbb{R}^{n+1} : f (x) < 0}$, является дискретной группой движений пространства Лобачевского $\mathbb{L}^n$, и называется арифметической дискретной группой.
Если $O_r (f, A)$ – подгруппа группы $O(f , A)$, порожденная отражениями, является подгруппой конечного индекса, то форма $f$ называется рефлективной, а группа $O_r (f, A)$ – арифметической группой отражений. Имеется критерий арифметичности для дискретных групп отражений в пространствах Лобачевского с фундаментальным многогранником конечного объема.
Гиперболической решеткой $L$ называется свободная абелева группа, снабженная целочисленной симметрической билинейной формой $(·, ·)$ сигнатуры $(n, 1)$. При $F =\mathbb{Q}$ (в этом случае $A = \mathbb{Z}$) арифметическая группа как раз превращается в группу автоморфизмов гиперболической решетки. Гиперболическая решетка $L$ называется рефлективной, если ее группа автоморфизмов содержит подгруппу конечного индекса, порожденную отражениями.
Недавно было доказано, что с точностью до подобия имеется лишь конечное число максимальных арифметических групп отражений в пространствах Лобачевского (значит, и рефлективных гиперболических решеток), что сделало задачу их полной классификации вполне осмысленной. В докладе будет изложена история данного вопроса и основные известные результаты, а также будет рассказано о методах классификации рефлективных гиперболических решеток, в частности, о недавних результатах докладчика (см. https://arxiv.org/abs/1610.06148 ).

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация посетителей портала  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2021