RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Некоммутативная геометрия и топология
20 апреля 2017 г. 17:00, г. Москва, МГУ им. М. В. Ломоносова, ГЗ, механико-математический факультет, ауд. 1604
 

Конференция "Ломоносов-2017"


Деривации групповых алгебр

А. С. Мищенко, А. И. Штерн, А. А. Арутюнов

Количество просмотров:
Эта страница:89

Аннотация: В докладе изучается классический вопрос о сравнении алгебры Ли дериваций ассоциативной алгебры $A$ с ее подалгеброй внутренних дериваций, так называемая проблема дериваций Джонсона. Пространство дериваций $Der(A,E)$ из алгебры $A$ в бимодуль $ E$ есть множество отображений
$$ D:A\to E,$$
которые удовлетворяют условию:
$$ D(ab)=D(a)b+aD(b), \quad a,b\in A, $$
Среди дериваций $Der(A,E)$ выделяются так называемые внутренние деривации $Int(A,E)\subset Der(A,E)$, которые задаются присоединенным представлением
$$ ad_{x}(a):= xa-ax, \quad x\in E, a\in A. $$

Проблема дериваций формулируется следующим образом: все ли деривации являются внутренними? Эта задача рассматривалась не для всяких алгебр, а для групповых алгебр $A=C[G]$ некоторой группы $ G$. Более точно, рассматривается групповая алгебра $ \overline A=L^{1}(G)$ и бимодуль $ E=M(G),$ где $ M(G)$ есть алгебра всех ограниченных мер на группе $G$ с операцией умножения, задаваемой сверткой мер.
В литературе встречается вопрос, который формулируется следующим образом: Пусть $ G$ есть локально компактная группа. Всякая ли деривация из алгебры $A=L^{1}(G)$ в бимодуль $ E=M(G)$ является внутренней деривацией? Утвердительный ответ оправдывается следующим соображением.
В случае, когда группа $ G$ является дискретной свободной абелевой группой с конечным числом образующих, т.е. $ G\approx\mathbb{Z}^{n}$, то алгебру $ \overline A=L^{1}(G)$ можно можно отождествить с алгеброй Фурье $ A(\mathbb{T}^{n})$ непрерывных функций на $ n$–мерном торе $\mathbb{T}^{n},$ коэффициенты Фурье которых образуют абсолютно сходящийся кратный ряд, $A =A(\mathbb{T}^{n})\subset C(\mathbb{T}^{n}),$ (эта алгебра Фурье меньше алгебры всех непрерывных функций). Дериваций на алгебре $ A(\mathbb{T}^{n})$ нет, поскольку в ней достаточно много негладких функций, впрочем и внутренних дериваций тоже нет, поскольку алгебра $ \overline A=L^{1}(G)$ коммутативна.
Нас же интересует не вся банахова алгебра $ \overline A=L^{1}(G),$ а только ее плотная подалгебра $ A=C[G]\subset\overline A$, состоящая, так сказать, из гладких элементов в алгебре $ \overline A=L^{1}(G),$ следуя терминологии А.Кона. Для групповой алгебры $A=C[G]\;$ тоже можно сформулировать аналогичную задачу: описать алгебру всех внешних дериваций групповой алгебры $A=C[G].$
С каждой группой $ G$ мы связываем группоид $G$, ассоциированный с присоединенным действием группы $ G,$ который позволяет выразить деривации групповой алгебры $C[G]$ в виде характеров на группоиде $\Gamma.$ С каждым группоидом, задаваемым конечно представимой группой, можно, в свою очередь, связать граф Кэли и, более общим образом, двумерный комплекс Кэли.
Мы доказываем, что алгебра внешних дериваций $Out(C[G])=Der(C[G])/ Int(C[G])$ изоморфна одномерной группе когомологий комплекса Кэли группоида $\Gamma$ с конечными носителями,
$$Out(C[G])\approx H^{1}_{f}(K(\Gamma); R). $$


ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019