RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН
27 апреля 2005 г., г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)
 


Разрывные градиентные динамические системы и траектории вариационных задач

И. А. Богаевский

Количество просмотров:
Эта страница:121

Аннотация: Теоремы существования и единственности решения, вообще говоря, не справедливы для обыкновенных дифференциальных уравнений с разрывной правой частью. Однако траектории дифференциального уравнения $dx/dt=–\mathrm{sign}(x)$ все-таки удовлетворяют этим теоремам при возрастании времени. А именно, в каждой точке начинается одна и только одна траектория, но заканчиваться может и больше. Кроме того, эта траектория непрерывно зависит от начальной точки. Правда, она может иметь излом, поэтому требуется уточнить, в каком смысле это решение дифференциального уравнения. Ответ прост: вместо обычной производной по времени надо рассматривать одностороннюю справа, что тоже согласуется с идеей возрастания времени — его приращение должно быть положительным. Иными словами, внешние условия, описываемые правой частью дифференциального уравнения, влияют только на будущее, а отнюдь не на прошлое.
Похожим образом устроены русла рек — у них есть много притоков, но, как правило, нет рукавов (раздвоений).
Описанные явления объясняются следующей несложной, но, как это ни странно, вроде бы новой теоремой. А именно, траектории градиентной динамической системы в евклидовом пространстве с вогнутым потенциалом удовлетворяют теоремам существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия при возрастании времени.
Эту теорему мы применяем для построения траекторий классической вариационной задачи о минимуме механического действия. Например, в асимптотиках уравнения Бюргерса с исчезающей вязкостью с течением времени все больше и больше частиц попадают в разрывы поля скоростей, называемые также ударными волнами. Согласно нашим результатам, движение частиц внутри ударных волн корректно определено, и для него справедливы теоремы существования, единственности и непрерывной зависимости от начального условия. Более того, совершенно неожиданно оказалось, что точки с положительной массой не всегда находятся в узлах системы ударных волн, а также могут свободно двигаться от узла к узлу.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017