RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела дифференциальных уравнений МИАН
2 марта 2005 г., г. Москва, МИАН, комн. 430 (ул. Губкина, 8)
 


О сходимости обобщенных цепных дробей и гипотезе Рамануджана

А. А. Глуцюк

Количество просмотров:
Эта страница:87

Аннотация: Рассматривается цепная дробь вида
\begin{equation} \cfrac{-a_1}{1-\cfrac{a_2}{1-\cfrac{a_3}{1-\cdots}}} \tag{1} \end{equation}
с вещественными коэффициентами $a_i$, сходящимися к некоторому пределу $a$.
С. Рамануджан утверждал, что если $a\ne\frac14$, то цепная дробь (1) сходится, если и только если $a<\frac14$.
В дальнейшем было доказано (Van Vleck, 1904), что дробь сходится для комплексных $a_i$, $a_i\to a\in\mathbb C\setminus[\frac14,+\infty)$, и расходится в случае, когда $a_i\in\mathbb R$, $a_i\to a>\frac14$ достаточно быстро (J. Gill, 1973), точнее, если
\begin{equation} \sum_i|a_i-a|<\infty. \tag{2} \end{equation}
Гипотеза Рамануджана, утверждающая, что дробь (1) расходится всегда при $a_i\to a>\frac14$, оставалась открытой до недавнего времени. Мы покажем, что она неверна: для всякого $a>\frac14$ существует последовательность $a_i\to a$ такая, что дробь (1) сходится. Кроме этого, мы покажем (для некоторого плотного подмножества значений $a>\frac14$), что предыдущее достаточное условие (2) для расходимости дроби является оптимальным условием на скорость сходимости коэффициентов.
Исследование сходимости цепных дробей связано, например, с теорией аналитических функций. В параллельной работе А. Цыгвинцев построил (совершенно другим способом) красивый явный пример последовательности $a_i\to1$, отвечающей сходящейся дроби (1) и задаваемой простой рекуррентной формулой. Этот пример происходит из теории аналитических функций.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017