RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
29 ноября 2017 г. 18:30, г. Москва, Мехмат МГУ, ауд. 16-22
 


Интегрируемый случай Адлера-ван Мёрбеке. Спектральная кривая и бифуркационная диаграмма

С. В. Соколов

Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН, г. Москва

Количество просмотров:
Эта страница:45

Аннотация: Случай Адлера–ван Мёрбеке интегрируемости на алгебре Ли $so(4)$ [adler1986] является в динамике твердого тела одним из наиболее сложных и наименее изученных. Благодаря [mishfom1978], [mishfom1979], посвященным интегрированию уравнений Эйлера на конечномерных группах Ли, на $so(4)$ возникает новое семейство интегрируемых квадратичных гамильтонианов с дополнительным интегралом четвертой степени. Его существование связано с особой симметрией $so(4)$, допускающей вещественное представление в виде прямой суммы $so(3)\oplus so(3)$. Впервые дополнительный интеграл представлен в оригинальной статье [adler1986]. Несколько позже, А. Рейман и М. Семенов-Тян-Шанский в работе [reyman1986] указали представление Лакса со спектральным параметром $\dot L(\lambda)=[L(\lambda), A(\lambda)]$, используя для его построения особую алгебру $\frak g$. Различные виды дополнительного интеграла, отличные от [adler1986], были указаны A. В. Болсиновым [bolsbor2002], В. В. Соколовым.
Хорошо известно, что инварианты матрицы $\trace L(\lambda)^k$ являются первыми интегралами движения, которые порождают отображение момента $\cal F$. Общих теорем о связи бифуркационной диаграммы (образа критических точек отображения момента) с дискриминантным множеством алгебраической кривой, определяемой уравнением $\Gamma(\lambda,\mu)=\det(L(\lambda)-\mu I)$, на сегодняшний день еще не существует. Тем не менее, как показывает опыт исследования конкретных механических систем [ryab2013] и др., такая связь прослеживается и ее можно сформулировать и использовать в качестве гипотезы при выводе уравнений бифуркационной диаграммы с последующими обоснованиями достаточности.
В докладе приводится в явном виде спектральная кривая $\Gamma(\lambda,\mu)$ для интегрируемого случая Адлера–ван Мёрбеке, что дает возможность нахождение бифуркационной диаграммы отображения момента $\cal F$ исходя из особенностей спектральной кривой. В [sokryaboshem2016] также аналитически исследованы критические точки ранга 0 и 1 отображения момента (положения равновесия и критические периодические траектории) дана их аналитическая классификация (определение типа в зависимости от значений параметров).
[adler1986] Adler, M. and van Moerbeke, P. A new geodesic flow on $so(4)$ // Prob., stat. mech. and numb. theory. Adv. in math. suppl. studies, 1986, vol. 9, pp. 81–96.
[reyman1986] Reyman, A. G. and Semenov-Tian-Shansky, M. A. A New Integrable Case of the Motion of the 4-Dimensional Rigid Body // Commun. Math. Phys., 1986, vol. 105, no. 3, pp. 461–472.
[bolsbor2002] Bolsinov, A. V. and Borisov, A. V. Compatible Poisson Brackets on Lie Algebras // Math. Notes, 2002, vol. 72, no. 1, pp. 10–30.
[ryab2013] Ryabov, P. E. Phase topology of one irreducible integrable problem in the dynamics of a rigid body // Theoret. and Math. Phys., 2013, vol. 176, no. 2, pp. 1000–1015.
[sokryaboshem2016] Ryabov, P. E., Oshemkov, A. A. and Sokolov, S. V. The Integrable Case of Adler–van Moerbeke. Discriminant Set and Bifurcation Diagram // Regul. Chaotic Dyn., 2016, vol. 21, no. 5, pp. 581–592.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017