RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Узлы и теория представлений
17 апреля 2018 г. 18:30, г. Москва, ГЗ МГУ, ауд. 14-03
 


Модулярные функции и трансцендентность

Ю. В. Нестеренко

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:27

Аннотация: В теории трансцендентных чисел, несмотря на ее длительную историю, имеются простые вопросы, ответы на которые не известны. Например, не известно, будет ли число $e+\pi$ иррациональным. Иррациональность $e$ доказана в 1737 г. (Эйлер), иррациональность $\pi$ в 1766 (Ламберт). В конце XIX века установлено, что $е$ и $\pi$ не являются алгебраическими числами, т.е. трансцендентны (Эрмит и Линдеман). Трансцендентность более сложно устроенного числа $е^{\pi}$ доказана в 1929 г. А.О.Гельфондом (частный случай 7-й проблемы Гильберта). Вопрос же об отсутствии алгебраических соотношений над $\mathbb{Q}$ между числами $e$ и $\pi$ (алгебраическая независимость) есть одна из наиболее известных открытых проблем теории трансцендентных чисел.
В докладе будут изложены идеи, лежащие в основе доказательства алгебраической независимости чисел $\pi$ и $e^{\pi}$. Может показаться странным, но доказательство этого факта использует модулярные функции и их свойства. Общий результат формулируется так: для каждого комплексного числа, $\alpha\in\mathbb{C}$, $\mathrm{Im}\alpha>0$ среди чисел
$$ e^{\pi i\alpha}, E_2(\alpha),E_4(\alpha), E_6(\alpha), $$
где $E_{2k}(\tau)$ — ряды Эйзенштейна, есть по крайней мере $3$ алгебраически независимых над $\mathbb{Q}$ числа.
Это, в частности, означает алгебраическую независимость чисел $\pi$, $e^{\pi}$, $\Gamma(1/4)$, а также чисел $\pi$, $e^{\pi\sqrt d}$ для любого натурального $d$. Среди других следствий этого утверждения: трансцендентность значений тета-констант, трансцендентность значений эта-функции Дедекинда $\eta(q)=q^{1/24}\Pi_{n=1}^\infty(1-q^n)$ и суммы $\sum_{n\geqslant 0}q^{n^2}$ для любого алгебраического $q$, $0<|q|<1$.
Весьма важную роль в доказательстве теоремы о значениях рядов Эйзенштейна играют результаты об оценках кратностей нулей многочленов от функций $e^{\pi i\tau}, E_2(\tau),E_4(\tau), E_6(\tau)$ в окрестности бесконечности в зависимости от степеней этих многочленов.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018