RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Заседания Московского математического общества
21 апреля 2009 г., г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
 


Объемы многогранников, узлов и зацеплений в пространствах постоянной кривизны

А. Д. Медных

Количество просмотров:
Эта страница:162

Аннотация: Вычисление объема многогранника — это классическая задача, известная со времен Евклида и не потерявшая актуальность в наши дни. Вероятно, первый результат в данном направлении принадлежит Тартальи (Tartaglia, 1499–1557), который нашел объем евклидова тетраэдра. В настоящее время этот результат известен как формула Кэли–Менгера. И. Х. Сабитов (1996) доказал, что объем любого евклидова многогранника — это корень алгебраического уравнения, коэффициенты которого являются целочисленными многочленами, зависящими от длин рёбер многогранника и его комбинаторного типа.
В гиперболическом и сферическом случаях ситуация более сложная. Формула объема для бипрямоугольного тетраэдра (ортосхемы) известна еще со времен Н. И. Лобачевского и Л. Шлефли. Объем куба Ламберта и некоторых других многогранников получены Р. Келлерхальц (1989), Д. А. Деревниным и докладчиком (2002), А. Ю. Весниным и Дж. Паркером (2004) и другими. Объемы гиперболических многогранников, имеющих хотя бы одну вершину на бесконечности, найдены Э. Б. Винбергом (1988).
Общая формула для объема тетраэдра в гиперболическом пространстве долгое время оставалась неизвестной. Недавно Ю. Чо, Х. Ким (1999), Дж. Мураками, У. Яно (2005) и А. Ушиджима (2003) получили такую формулу в виде линейной комбинации 16 дилогарифмических функций. В 2005 году Д. А. Деревнин и докладчик предложили элементарную интегральную формулу объема гиперболического тетраэдра. Отметим, что если многогранник обладает какой-либо нетривиальной симметрией, то формула для его объема существенно упрощается. Впервые этот замечательный факт был установлен самим Лобачевским (1904) для идеального гиперболического тетраэдра. Дж. Милнор (1982) представил соответствующий результат в весьма элегантной форме. В общем случае объем неевклидова тетраэдра с симметриями был найден Д. А. Деревниным, докладчиком и М. Г. Пашкевич (2004).
Удивительно, что более ста лет назад, в 1906 г., итальянский герцог Гаетано Сфорца нашел формулу для вычисления объема неевклидова тетраэдра. Этот факт приобрел известность после дискуссии докладчика с Хосе Монтезиносом на конференции в Эль Бурго д'Осма (Испания) в августе 2006 г. К сожалению, выдающаяся работа Сфорца до этого времени была полностью забыта.
В настоящем докладе излагается общий подход к вычислению объемов многогранников, обладающих нетривиальной симметрией, и даются его приложения к теории узлов и зацеплений.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017