RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Заседания Московского математического общества
12 декабря 2006 г., г. Москва, ГЗ МГУ, аудитория 16-10
 


Статистика чисел Фробениуса аддитивных полугрупп и геометрия цепных дробей

В. И. Арнольд

Количество просмотров:
Эта страница:247

Аннотация: Числом Фробениуса $N(a, b, …, c)$ положительных целых чисел $a, b, …$ (в количестве $n$ штук) называется наименьшее целое число, представимое, как и все бо́льшие его числа, в виде суммы слагаемых вида $a, b, …$ (с неотрицательными целыми кратностями). Мы предполагаем, что наибольший общий делитель чисел $a, …, c$ есть 1. Сильвестр доказал, что $N(a,b) = (a - 1)(b - 1)$. Но уже для $N(a, b, c)$ общей формулы нет.
В докладе будет обсуждаться рост числа Фробениуса $N$ с ростом суммы $S$ всех $n$ аргументов $(a, b, …, c)$. Несколько лет назад я доказал, что
$$ \mathrm{const}S^u\le N\le S^2, $$
где $u=1+\frac{1}{(n-1)}$ (для трех аргументов $\mathrm{const}S^{3/2}\le N\le S^2$).
Соображения автомодельности для этой арифметической турбулентности привела меня к гипотезе (опубликованной в 1999 году), что в среднем (по симплексу $a+…+c=S$) число Фробениуса растет как $S^u$.
Проведенные по моей просьбе в Силиконовой Долине компьютерные эксперименты подтвердили средний рост порядка $S^{3/2}$ для $a + b + c = 41$, 97 и 199.
Упомянутые экспериментальные данные были вычислены при помощи неожиданной связи чисел Фробениуса с геометрией цепных дробей (обычных при $n = 3$ и многомерных при бо́льшем числе аргументов). Об этой связи также будет рассказано в докладе (хотя описанное выше поведение средних остается не доказанной теоремой, а лишь подтвержденной миллионами примеров гипотезой физического характера).
Некоторые ослабленные варианты моих гипотез о числах Фробениуса недавно доказал Я. Г. Синай, но он сообщил мне, что сами мои исходные гипотезы «слишком трудны».

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2017