Теория Галуа систем уравнений и маленькие целочисленные многогранники

Теорема Абеля утверждает, что полиномиальное уравнение с неопределенными коэффициентами разрешимо в радикалах если и только если его степень, т.е. объем (одномерного) многогранника Ньютона, не превосходит 4. Я расскажу про многомерное обобщение этого факта, сводящее классификацию разрешимых систем полиномиальных уравнений с неопределенными коэффициентами к классификации целочисленных многогранников смешанного объема не выше 4 (и покажу, что последняя конечна в каждой размерности).
Результат следует из изучения групп Галуа систем уравнений – в частности, я докажу, что группа Галуа систем, которые не упрощаются мономиальными заменами переменных, является симметрической. Полученные результаты мотивируют множество гипотез и открытых вопросов в области дискриминантов систем уравнений в смысле Гельфанда–Зелевинского–Капранова, геометрии целочисленных многогранников и теории Галуа задач исчислительной геометрии.