RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
7 ноября 2018 г. 18:30, г. Москва, Мехмат МГУ, ауд. 16-22
 


Полиномиальные расширения дифференциальных колец уравнения Кортевега–де Фриза

В. М. Бухштаберab

a Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет
b Математический институт им. В.А. Стеклова Российской академии наук, г. Москва

Количество просмотров:
Эта страница:25

Аннотация: Рассмотрим уравнение Кортевега–де Фриза (КдФ) на функцию $u = u(x,t)$
\begin{equation}\label{1} \dot u = 6uu' - u"'. \end{equation}
Введем переменные $t_{2k-1},  k\geqslant 1,  \deg t_{2k-1} = 1-2k$, где $t_1 = x$ и $t_3 = t$. Положим $\deg u = 2$, тогда $\deg u^{(s)} = 2+s$, где $u^{(s)} = \frac{\partial^s}{\partial t_1^s}u$.
Пусть $u = u(t_1,t_3,\ldots,t_{2k-1},\ldots)$ – функция, бесконечно дифференцируемая по всем переменным. Говорят, что функция $u$ обладает $k$-той дифференциальной симметрией, если существует однородный полином $Q_{2k} = Q_{2k}(u,u',\ldots,u^{(2k-2)}),  \deg Q_{2k} = 2k$, такой, что
\begin{equation}\label{2} \frac{\partial}{\partial t_{2k-1}}u = \frac{\partial}{\partial t_1}  Q_{2k}. \end{equation}

Уравнение \eqref{2} при $k=1$ с $Q_2 = u$ является тавтологией. Уравнение \eqref{2} при $k=2$ с $Q_4 = 3u^2-u"$ следует из уравнения КдФ. Хорошо известно, что решение $u = u(t_1,t_3,\ldots)$ уравнения КдФ обладает $k$-той симметрией для всех $k>2$.
Определение. $g$-тым дифференциальным кольцом уравнения КдФ называется кольцо $\mathcal{K}\mathcal{V}_g = \mathbb{C}[u,u',\ldots,u^{(k)},\ldots]/J_g$, где $J_g$ – идеал $\{\frac{\partial}{\partial t_1}  Q_{2k},  k> g\}$.
Пусть $t = (t_1,\ldots,t_{2g-1}),\; \lambda = (\lambda_4, \ldots,\lambda_{4g+2})$ и $\sigma(t;\lambda)$ – сигма функция гиперэллиптической кривой
$$ V_\lambda = \{ (\xi,\eta)\in\mathbb{C}^2 \colon \eta^2 = \xi^{2g+1} + \lambda_4\xi^{2g-1} + \ldots + \lambda_{4g+2} \}. $$

Положим $u_{2k} = -2 \frac{\partial^2}{\partial t_1 \partial t_{2k-1}}  \ln \sigma(u),\; k = 1,\ldots,g$. Отметим, что $u_{2k}' = Q_{2k}'$.
Теорема. Для любого $g\geqslant 1$ имеет место вложение $\mathcal{K}\mathcal{V}_g \subset \mathbb{C}[U,U',U"']$ в кольцо полиномов от $3g$ переменных, где $U^{(q)} = (u^{(q)} = u_2^{(q)},\ldots,u_{2g}^{(q)}),\; q = 0,1,2$.
Доклад посвящен доказательству этой теоремы. Мы обсудим ее приложения и связь с известными результатами. Доклад ориентирован на широкую аудиторию. Он опирается на результаты работ:
[1.] V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Hyperelliptic Kleinian functions and applications, Solitons, Geometry and Topology: On the Crossroad, AMS Trans., 179:2, 1997, 1–33.
[2.] В. М. Бухштабер,  Полиномиальные динамические системы и уравнение Кортевега–де Фриза., Современные проблемы математики, механики и математической физики. II, Сборник статей, Тр. МИАН, 294, МАИК, М., 2016, 191– 215.
[3.] V. M. Buchstaber, V. Z. Enolskii, D. V. Leikin,  Multi-variable sigma-functions: old and new results., arXiv:1810.11079 v1 [nlin.SI], 25 Oct 2018.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018