RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
24 июля 2019 г. 14:00, г. Москва, МИАН
 


О супераналоге отображения Плюккера

Ф. Ф. Вороновab

a University of Manchester
b Томский государственный университет

Количество просмотров:
Эта страница:52

Аннотация: Супергеометрия возникла в 1970-х гг. как ответ на запрос физиков о геометрическом основании для возникших в то время моделей с суперсимметрией. (Отсюда приставка "супер".) Надо заметить, что Ф. А. Березин развивал программу супергеометрии (до появления термина) на протяжении 1960х–начала 1970х гг.. Условной точкой перехода супергеометрии в "явную форму" можно считать публикацию определения супермногообразия в 1975 в работе Березина-Лейтеса. Аналоги классических конструкций в супергеометрии оказались востребованными для разнообразных задач, а аналогия связей между классическими конструкциями оказалась идущей весьма далеко. Так, например, классификация простых супералгебр Ли, данная В. Кацем, тесно связана с понятиями "супер линейной алгебры" и супергеометрии (так же, как классические алгебры Ли связаны с геометрическими структурами). Разумеется, в супергеометрии возникли и совершенно новые явления, примерами чего могут служить теория суперформ или нечетная симплектическая структура (важная в методе квантования Баталина-Вилковыского). Изучение супергеометрических структур отнюдь не исчерпано, например, только недавно были получены результаты об объемах некоторых классических супермногообразий (см. работу докладчика Sbornik: Mathematics 207 (11) (2016), 1512-1536, отправной точкой которой был контрпример к предположению Виттена; совсем недавно Виттен сделал еще новое продвижение в этом вопросе).
В докладе мы расскажем о супераналоге отображения Плюккера (ранее не известном). Напомним, что классическое отображение Плюккера задано для многообразия Грассмана $k$-мерных плоскостей $L$ в $n$-мерном векторном пространстве $V$. Оно сопоставляет плоскости $L$ с базисом $u_1, \ldots, u_k$ ненулевой поливектор $u_1\wedge \ldots \wedge u_k$ (с точностью до пропорциональности). Это вложение многообразия Грассмана $G_k(V)$ в проективное пространство $P(\Lambda^(V))$. Его образ описывается полиномиальными уравнениями, которые называются соотношениями Плюккера.
Супермногообразие Грассмана $r|s$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве $V$ было введено Маниным в начале 1980-х годов в связи с формализмом Радона-Пенроуза. (Как известно, классическое многообразие Грассмана $G_2(\mathbb{C}^4)$ в физике фигурирует как "компактифицированное комплексифицированное пространство Минковского". Его суперварианты аналогично связывают с "суперпространством Минковского".) Точно так же, как классическое, супер многообразие Грассмана есть "универсальное пространство параметров" для плоскостей $L\subset V$. Его размерность есть $(r|s)(n|m-r|s)=r(n-r)+s(m-s)| r(m-s)+s(n-r)$ (т.е., $r(n-r)+s(m-s)$ четных координат и $r(m-s)+s(n-r)$ нечетных координат). Во многом свойства супермногообразия Грассмана совершенно аналогичны классическим (например, на нем имеются супераналоги римановой и симплектической структуры). Однако при этом считалось, что аналога отображения Плюккера в суперслучае не существует, кроме, возможно, "вырожденных случаев". Причем и эти "вырожденные случаи" тоже не были рассмотрены в литературе (за исключением одного примера, рассмотренного физиками в 2011 г.). Глубинная причина этого — трудности с супераналогом внешних форм и поливекторов, а еще глубже — рациональность функции Ber (аналога детерминанта).
Тем не менее, супераналог отображения Плюккера существует. В докладе будет рассказано, как его построить.
Пусть $G_{r|s}(V)$ — супермногообразие Грассмана $r|s$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве $V$. Отображение "супер-Плюккера", которое мы строим, есть рациональное отображение
$$ G_{r|s}(V) \to P_{+1,-1}(\Lambda^{r|s}(V)\oplus \Lambda^{s|r}(\Pi V)), $$
где $\Lambda^{r|s}(V)$ обозначает пространство $r|s$-векторов в пространстве $V$ (определение будет дано в докладе), а $\Pi$ есть функтор обращения четности. (Один из нетривиальных моментов — понять, что заменяет внешнее произведение векторов базиса.) В правой части стоит своего рода "взвешенное проективное пространство". Мы покажем, что это отображение есть вложение. В случае $s=0$, т.е., чисто четных $r$-мерных плоскостей в $n|m$-мерном суперпространстве вложение сводится к полиномиальному. Это самый простой (если угодно, "вырожденный") случай, который исследуется до конца, и где получается простейший вариант "суперсоотношений Плюккера". Этот простейший случай уже интересен, например, тем, что связан с гипотетическим супераналогом кластерных алгебр.
Несколько лет назад О.М. Худавердян предложил некоторый "неклассический" подход к соотношениям Плюккера, основанный на идеях супергеометрии. Мы показали, что "соотношения Худавердяна" равносильны соотношениям Плюккера (классическим и супер) при $r|s=2|0$ и любом $n|m$. (А в общем случае являются их следствием.) Если позволит время, мы расскажем об этом тоже.
(Доклад основан на совместной работе с Е.С. Шемяковой, University of Toledo, Ohio. См. arXiv:1906.12011)

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019