RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
28 августа 2019 г. 14:00, г. Москва, МИАН
 


Действие тора и потоки Тоды на пространствах изоспектральных матриц

А. А. Айзенберг

Национальный исследовательский университет "Высшая школа экономики", г. Москва

Количество просмотров:
Эта страница:47

Аннотация: Рассмотрим пространство $M_\lambda$ всех эрмитовых матриц размера $n \times n$, имеющих заданный простой спектр $\lambda$. Это пространство представляет собой гладкое многообразие полных комплексных флагов в $\mathbb{C}^n$ и имеет вещественную размерность $n(n-1)$. На этом многообразии имеется эффективное действие компактного $(n-1)$-мерного тора и отображение моментов, образ которого - пермутоэдр.
Широко известно многообразие Томеи изоспектральных трехдиагональных симметричных вещественных матриц. На этом многообразии имеется замечательная динамическая система: поток открытой цепочки Тоды. Многообразие Томеи сыграло важную роль в работах А.Гайфуллина по проблеме реализации циклов.
В работе Блоха, Флашки и Ратью было изучено аналогичное пространство трехдиагональных эрмитовых матриц. На нем также имеется поток цепочки Тоды, но, более того, оно является $T^{n-1}$-инвариантным подмногообразием в $M_\lambda$. Комбинация методов теории динамических систем и торической топологии позволили описать топологию этого многообразия.
Наша цель - исследование подмногообразий в $M_\lambda$, инвариантных относительно действия тора $T^{n-1}$, и обладающих $T^{n-1}$-симметричными аналогами цепочек Тоды.
Накладывая условия равенства нулю матричных элементов, стоящих на определенных местах, мы получаем $T^{n-1}$-инвариантные подпространства в $M_\lambda$. Наша первая задача была найти среди этих подпространств гладкие подмногообразия либо для всех возможных значений простого спектра, либо при некоторых ограничениях на простой спектр. Вторая задача - развить методы, основанные на теории динамических систем и торической топологии, достаточные для описания топологии этих многообразий и их пространств орбит.
Мы рассматриваем два класса таких многообразий. Первый класс - пространства изоспектральных ступенчатых эрмитовых матриц $X_{h,\lambda}$, определяемые функциями Хессенберга $h$. В этом случае на пространстве имеется поток открытой цепочки Тоды, и любая его траектория стремится к предельной точке. Это позволило доказать, что $X_{h,\lambda}$ является гладким подмногообразием для любого простого спектра $\lambda$. Используя теорию Морса, мы показываем, что у этого многообразия когомологии в нечетных размерностях тривиальны. В результате получено описание колец обычных и эквивариантных когомологий при помощи теории Горески-Коттвица-Макферсона (ГКМ-теории).
Как известно, в пространстве флагов имеются $T^{n-1}$-инвариантные регулярные полупростые подмногообразия Хессенберга. Мы описываем связь многообразий $X_{h,\lambda}$ с регулярными полупростыми многообразиями Хессенберга, и доказываем, что эти пространства имеют изоморфные кольца эквивариантных когомологий и гомеоморфные пространства орбит. На этом пути возникают примеры $T^{n-1}$-многообразий, пространства орбит которых имеют нетривиальные когомологии.
Второй класс $T^{n-1}$-инвариантных подпространств в $M_\lambda$ - это подпространства $X_{n,\lambda}$ периодических трехдиагональных матриц, то есть матриц, у которых ненулевые элементы допускаются только на трех главных диагоналях и в углах. На пространстве $X_{n,\lambda}$ помимо действия тора имеется поток замкнутой (периодической) цепочки Тоды. В этом случае траектории потока образуют всюду плотные обмотки торов. Используя как действие тора, так и слоение на торы Лиувилля-Арнольда, мы описываем условия на простой спектр $\lambda$, при которых $X_{n,\lambda}$ является гладким многообразием, а также описываем топологию этого $T^{n-1}$-пространства и его пространства орбит.
Доклад основан на совместной работе с В.М.Бухштабером.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2019