RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Семинар отдела геометрии и топологии МИАН «Геометрия, топология и математическая физика»
25 сентября 2019 г. 18:30, г. Москва, Мехмат МГУ, ауд. 16-22
 


Униформизация в задаче об асимптотике собственных функций оператора $\nabla D(x)\nabla$ с вырождающимся на границе коэффициентом $D(x)$.

В. Е. Назайкинскийab

a Московский физико-технический институт
b Институт проблем механики им. А. Ю. Ишлинского Российской академии наук, г. Москва

Количество просмотров:
Эта страница:50

Аннотация: Рассматривается задача об асимптотике собственных функций оператора $-\nabla D(x)\nabla$ в ограниченной области $X$ с границей $\partial X$ при больших собственных значениях $\lambda$. Предполагается, что $D(x)>0$ внутри $X$ и $D(x)=0$ на $\partial X$, причем $\nabla D(x){{|}_{\partial X}}\ne 0$. Стандартные краевые условия при этом не ставятся, их заменяет условие самосопряженности (используется расширение по Фридрихсу в $L^2(X)$). В теории волн на воде (где $X$ — двумерная область) такие собственные функции, описывают, в частности, так называемые волны, захваченные берегами, а функция $D$ определяет дно бассейна. Решение этой задачи в квазиклассическом приближении связано с лагранжевыми многообразиями, инвариантными относительно геодезического потока, задаваемого гамильтонианом $H(x,p)=D(x)p^2$. В силу вырождения $D(x)$ эти лагранжевы многообразия ("бильярды с полужесткими стенками") оказываются сингулярными и некомпактными по импульсам, причем импульсы на траекториях уходят на бесконечность за конечное время (нарушается условие полноты потока). Для построения соответствующих собственных функций авторами доклада совместно с А.Ю.Аникиным и А.В.Цветковой был ранее развит метод, основанный на нестандартном фазовом пространстве, модифицированном каноническом операторе, квантовании Фока канонических преобразований, преобразовании Ганкеля и т.д. В докладе предлагается совсем иной подход к построению асимптотик в таких задачах, перекликающийся с восходящей к Ж. Лере идее униформизации. Речь идет о построении задачи в пространстве большей размерности, такой, что проектирование решений этой новой «расширенной задачи» на подходящее инвариантное подпространство дает решение исходной задачи. Именно, $X$ представляется как пространство орбит полусвободного действия группы $\mathbb{S}^1$ на замкнутом многообразии $M$, гомеоморфном $\partial (B^2\times X)$ (где $B^2\subset\mathbb{R}^2$ — замкнутый единичный диск), и вырождающиеся на $\partial X$ уравнения на $X$ поднимаются с помощью естественной проекции $\pi\colon M\to X$ на многообразие $M$. Асимптотические решения "поднятых" уравнений оказывается возможным построить стандартными методами, а решения исходных уравнений суть решения "поднятых" уравнений, постоянные вдоль $\mathbb{S}^1$-орбит — слоев проекции $\pi$ (или в более общем случае получаются из $\mathbb{S}^1$-эквивариантных решений). Ранее построенное фазовое пространство $\Phi$ при таком подходе есть не что иное, как результат применения простейшего варианта симплекимческой редукции Марсдена–Вайнстейна к пространству $T^*M$ с действием группы $\mathbb{S}^1$. Удивительно простая реализация этой конструкции приводит к полному исследованию асимптотических решений рассматриваемых задач и простым формулам для этих решений.
Доклад основан на совместной работе с С.Ю.Доброхотовым.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020