О геометрических решениях задачи Римана для одного класса нестрого гиперболических систем

Рассматривается задача Римана для системы законов сохрнения ступенчатого вида
$$\{
\begin{array}{lll} \frac{\partial U_1}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{F}_j(U_1,...,U_{n-1}))=0, j=1,...,n-1,
\frac{\partial U_n}{\partial t}+\frac{\partial}{\partial x}(\mathcal{F}_n(U_1,...,U_{n-1})+\Phi(U_n))=0,
U_j|_{t=0}=U_{j,-}+(U_{j,+}-U_{j,-})\theta(x), j=1,...,n, \end{array}
.\eqno (1) $$
где $U_{j,\pm}$ – заданные константы, а известные функции $\mathcal{F}_j\in C^2(\mathbb{R}^{n-1})$, $j=1,...,n$, $\Phi\in C^2(\mathbb{R})$. Предполагается также, что все собственные значения матрицы
$$ \mathscr A(\xi)=(\begin{matrix} \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_1}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & 0
...&...&...&...
\frac{\partial \mathcal{F}_{n-1}}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_{n-1}}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & 0
\frac{\partial \mathcal{F}_{n}}{\partial U_1}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) &...& \frac{\partial \mathcal{F}_{n}}{\partial U_{n-1}}(\xi_1,...,\xi_{n-1}) & \Phi'(\xi_n)
\end{matrix} ) $$
вещественные для любого $\xi\in{\mathbb{R}^n}$, т.е. рассматриваемая система законов сохранения нестрого гиперболическая по Петровскому. Пусть, кроме того, левый верхний блок $\widehat{\mathcal{A}}$ матрицы ${\mathcal{A}}$ размера $(n-1)\times(n-1)$ – матрица, имеющая полный базис из собстевнных векторов. В этом случае у матрицы ${\mathcal{A}}$ на некотором многообразии в фазовом пространстве может возникать присоединенный вектор, и известные методы решения задачи Римана становятся неприменимы.
В докладе будет предложен новый метод построения задачи Римана (1), опирающийся на новой определение решения – геометрическое решение, и описана связь между геометрическим и обобщенным решением.

ОТПРАВИТЬ: