RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ЛИЧНЫЙ КАБИНЕТ
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Общеинститутский семинар «Математика и ее приложения» Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук
16 декабря 2010 г. 16:00, г. Москва, конференц-зал МИАН (ул. Губкина, 8)
 


Теория представлений групп и алгебраическая геометрия

А. Н. Паршин
Видеозаписи:
Windows Media 866.7 Mb
Flash Video 2,967.5 Mb
Flash Video 976.4 Mb
MP4 976.4 Mb

Количество просмотров:
Эта страница:1779
Видеофайлы:978
Youtube Video:

А. Н. Паршин
Фотогалерея


Видео не загружается в Ваш браузер:
  1. Установите Adobe Flash Player    

  2. Проверьте с Вашим администратором, что из Вашей сети разрешены исходящие соединения на порт 8080
  3. Сообщите администратору портала о данной ошибке



Аннотация: Связи алгебраической геометрии и теории представлений групп многочисленны и разнообразны. Возникающие тут группы можно, в первом приближении, разбить на два больших класса.
I. Группы, связанные с достаточно произвольными алгебраическими многообразиями.
II. Группы, которые сами являются алгебраическими многообразиями (алгебраические группы) и тем самым доставляют примеры многообразий довольно частного вида, такие как, например, проективные пространства или общие, однородные пространства алгебраических групп. К этому направлению относится теория инвариантов, имеющая многочисленные приложения. Кроме того, сюда же можно отнести дискретные группы, которые возникают в теории униформизации и служат, например, для описания всех многообразий размерности 1, т.е. алгебраических кривых.
К группам первого класса относятся такие группы, как группы циклов и их классов относительно различных отношений эквивалентности, поля функций на многообразии, как локальные, так и глобальные, и многие другие. Сюда же можно отнести алгебраические группы $G$, координаты точек которых принадлежат локальным и глобальным полям, а также кольцам аделей.
В случае, когда группа $G$ полупроста (или редуктивна), теория представлений таких групп получила сильное развитие во второй половине XX века и оказалась глубоко связана с теорией автоморфных форм, принадлежащей как комплексному анализу, так и алгебраической геометрии. Это развитие стало весьма полезным для теории чисел и привело, в частности, к доказательству теоремы Ферма. Существенное значение имела программа Ленглендса о связи представлений групп Галуа локальных и глобальных полей (размерности 1) и автоморфных представлений полупростых групп над такими полями. Программа Ленглендса реализована лишь частично и привлекает сейчас большое внимание.
Заметим, однако, что многие трудные задачи теории чисел плохо укладываются в рамки этой теории. Примером такой задачи является гипотеза Берча–Суиннертон–Дайера (БСД) о порядке полюсов дзета-функции эллиптических кривых.
Кроме того, в этой весьма обширной теории имеется одно принципиальное ограничение: в ней рассматриваются в качестве основного поля лишь поля размерности 1, такие как локальное поле $p$-адических чисел и глобальное поле рациональных чисел. Локальные поля, используемые в теории представлений полупростых групп, возникают как поля на алгебраических кривых (или на спектрах колец целых в полях алгебраических чисел). Обобщение понятия локального поля на случай многообразий любой размерности было предложено докладчиком в 1975 г. Оно приводит к обобщению адельных конструкций на многообразия произвольной размерности и появлению гораздо более обширного класса групп, связанных с алгебраическими многообразиями. Несколько лет назад докладчиком было обнаружено, что в рамках этой теории можно выделить класс групп, которые нильпотентны и дискретны (в данном случае, не несут никакой топологии).
В теории унитарных представлений локально компактных групп в гильбертовом пространстве такие группы занимали весьма обособленное место, так как обладали целым рядом патологических свойств (они, как правило, не группы типа I в классификации фон Неймана). Тем не менее, если отказаться от условия унитарности, то можно построить очень естественную и весьма эффективную теорию представлений и применить ее к изучению тех нильпотентных групп, которые возникают из алгебраических многообразий.
Подход, излагаемый в докладе, можно представить такой диаграммой:
Алгебраические многообразия $\to$ Дискретные нильпотентные группы $\to$ Многообразия модулей их представлений над полем комплексных чисел
Заметим, что если исходное многообразие определено над конечным полем или кольцом целых чисел, то мы все равно приходим к комплексному многообразию модулей представлений. Это открывает новые и неожиданные перспективы в изучении арифметических задач, непосредственно используя методы комплексной алгебраической геометрии и комплексного анализа.
Доклад будет содержать обзор этого круга вопросов на вполне элементарном уровне с привлечением самых простых примеров. Более развернутое и полное изложение см. в тексте моего доклада на математическом конгрессе в Хайдарабаде: arXiv: mathNT/1012.0486.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2018