RUS  ENG ЖУРНАЛЫ   ПЕРСОНАЛИИ   ОРГАНИЗАЦИИ   КОНФЕРЕНЦИИ   СЕМИНАРЫ   ВИДЕОТЕКА   ПАКЕТ AMSBIB
Ближайшие семинары
Календарь семинаров
Список семинаров
Архив по годам
Регистрация семинара

Поиск
RSS
Ближайшие семинары





Для просмотра файлов Вам могут потребоваться








Алгебраическая топология и её приложения. Семинар им. М. М. Постникова
15 сентября 2020 г. 17:30–19:00, г. Москва, г. Москва, ZOOM Идентификатор конференции: 817 7274 1372 Пароль: 000000
 


Когомологическая жёсткость для трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников

Н. Ю. Ероховец

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, механико-математический факультет

Количество просмотров:
Эта страница:23

Аннотация: В торической топологии (см. [BP15]) каждому $n$-мерному комбинаторному простому выпуклому многограннику $P$ с $m$ гипергранями сопоставляется $(m + n)$-мерное момент-угол многообразие $Z_P$ с действием компактного тора $T^m$, таким что пространство орбит $Z_P/T^m$ является геометрической реализацией многогранника $P$. Простой $n$-мерный многогранник $P$ называется B-жёстким, если любой изоморфизм градуированных колец $H^*(Z_P, Z) = H^*(Z_Q, Z)$ для простого $n$-мерного многогранника $Q$ влечёт комбинаторную эквивалентность $P = Q$. $Z_2$-характеристическая функция – это отображение множества гиперграней многогранника в $Z^n_2$ (где $Z_2 = Z/2Z$), такое что для каждой вершины образы содержащих её гиперграней образуют базис. Каждой $Z_2$- характеристической функции соответствует $n$-мерное многообразие, получаемое склейкой 2n копий многогранника. Оно называется малым накрытием над многогранником. Малое накрытие над компактным прямоугольным многогранником в пространстве Лобачевского $L^3$ имеет структуру гиперболического многообразия (такие многообразия были также построены в [V87]). В работе [BEMPP17] доказано, что если два таких трёхмерных гиперболических многообразия имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над $Z_2$, то они гомеоморфны. Характеристические функции возникают, в том числе, из раскрасок гиперграней в $n$ или $(n + 1)$ цветов, таких что смежные грани имеют разный цвет.
В центре нашего внимания находятся трёхмерные идеальные прямоугольные многогранники в $L^3$. Все вершины таких многогранников лежат на абсолюте, а все двугранные углы прямые. Известно, что рёберные графы трёхмерных идеальных прямоугольных многогранников – это в точности медиальные графы выпуклых трёхмерных многогранников. Вершины медиального графа – это середины рёбер многогранника. Две такие вершины соединены ребром, если соответствующие им рёбра являются соседними в некоторой грани. Это соответствие играет ключевую роль в теореме Кёбе-Андреева-Тёрстрона о том, что каждый комбинаторный трёхмерный многогранник может быть реализован в евклидовом пространстве так, что все его рёбра касаются сферы.
Теорема. [E20] Простой трёхмерный многогранник, получаемый одновременной срезкой всех вершин трёхмерного идеального прямоугольного многогранника, является B-жёстким.
Такой простой многогранник P имеет каноническую раскраску в три цвета. Один цвет отвечает срезаемым вершинам идеального многогранника, а два других – вершинам и граням выпуклого многогранника при реализации идеального многогранника через его медиальный граф. Раскраске соответствует трёхмерное многообразие M(P).
Следствие. Если многообразия $M(P)$ и $M(Q)$ имеют одинаковые градуированные кольца когомологий над $Z_2$, то они гомеоморфны.
Многообразие $M(P)$ является дублем трёхмерного многообразия $N$ с краем $\partial N$, то есть склеено из двух его копий по общей границе. В дополнении до края каждая копия имеет гиперболическую структуру, а каждая компонента края является плоским двумерным тором. Многообразие $N- \partial N$ гомеоморфно некомпактному гиперболическому многообразию конечного объёма, отвечающему раскраске граней идеального многогранника в два цвета (конструкция описана в [V17]).
[BP15] Victor Buchstaber and Taras Panov. Toric Topology. Math. Surv. and Monogr., 204, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2015.
[BEMPP17] В.М. Бухштабер, Н.Ю. Ероховец, М. Масуда, Т.Е. Панов, С. Пак, Когомо- логическая жесткость многообразий, задаваемых трехмерными многогранника- ми, УМН. 2017. Т. 72, No 2 (434). С. 3–66.
[V87] А.Ю. Веснин,Трехмерные гиперболические многообразия типа Лёбелля, Сиб. мат. журн. 1987. V. 28, N 5. P. 50–53.
[V17] А.Ю. Веснин, Прямоугольные многогранники и трехмерные гиперболические многообразия, УМН. 2017. Т.72, No 2(434). С. 147–190.
[E20] N. Erokhovets, B-rigidity of ideal almost Pogorelov polytopes, arXiv:2005.07665v3.

ОТПРАВИТЬ: VKontakte.ru FaceBook Twitter Mail.ru Livejournal Memori.ru
 
Обратная связь:
 Пользовательское соглашение  Регистрация  Логотипы © Математический институт им. В. А. Стеклова РАН, 2020